Question

1．如图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R的$\frac{1}{4}$圆周连接而成，它们的圆心O₁、O₂与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O₂B沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑． 
（1）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O₁的连线与竖直线的夹角表示）．
（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离如何？

Answer 1

分析 （1）如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是$m\frac{{v}^{2}}{R}=mgcosθ$，结合机械能守恒即可求解．
（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，离开轨道后做平抛运动，先求出最小速度，再根据平抛运动的规律进行讨论即可求解；

解答 解：（1）如图所示，设滑块出发点为P₁，离开点为P₂，按题意要求O₁P₁、O₂P₂与竖直方向的夹角相等，
设其为θ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P₂处脱离滑道的条件是$m\frac{{v}^{2}}{R}=mgcosθ$
由机械能守恒 2mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
联立解得 cosθ=$\frac{4}{5}$
（2）设滑块刚能在O点离开滑道的条件是　
mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$，v₀为滑块到达O点的速度，由此得v₀=$\sqrt{gR}$，设到达O点的速度为v₀的滑块在滑道OA上的出发点到O₁的连线与竖直夹角为θ₀，由机械能守恒，有mgR（1-cosθ₀）=$\frac{1}{2}$mv₀²
联立两式解得θ₀=$\frac{π}{3}$
若滑块到达O点时的速度V＞V₀，则对OB滑道来说，因O点可能提供的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的水平切线方向离开O点．对于V＞V₀的滑块，其在OA上出发点的位置对应的θ角必大于θ₀，即θ＞θ₀，由于θ_max=$\frac{π}{2}$，根据机械能守恒，到达O点的最大速度v_max=$\sqrt{2gR}$，由此可知，能从O点离开滑道的滑块速度是v₀到v_max之间所有可能的值，
也就是说，θ从$\frac{π}{3}$至$\frac{π}{2}$下滑的滑块都将在O点离开滑道．以速度v₀从O点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至O₂的距离x₀=V₀t，R=$\frac{1}{2}$gt²
联立解得：x₀=$\sqrt{2}$R，当滑块以v_max从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到O₂的距离x_max=v_maxt，解得x_max=2R；
因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到O2的距离在$\sqrt{2}$R到2R之间的所有可能值．　　
即：$\sqrt{2}R$≤x≤2R
答：（1）小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的 cosθ=$\frac{4}{5}$处
（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到O₂的距离范围为$\sqrt{2}R$≤x≤2R；

点评 该题主要考查了动能定理、向心力公式、平抛运动的规律及机械能守恒定律，综合性较强，难度较大．要注意正确分析物理过程，做好受力分析才能正确选择物理规律求解．