Question

3．如图所示，等高、接触但不粘连的两木板B、C放置在粗糙的水平地面上，物块A（可视为质点）以某一初动能从B左端冲上木板．若B、C均固定在地面上，发现A恰能运动到C的右端．如若解除B、C的固定，A仍以相同初动能从B左端冲上木板开始运动．其中A与B、C间动摩擦因数均为μ₁=0.5，B、C与地面动摩擦因数均为μ₂=0.1，A、B、C质量分别为m_A=m_C=1kg、m_B=3kg，B、C长度均为L=2m，g=10m/s²，求（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）：
（1）物块A的初动能是多少？
（2）如若B、C未固定，A滑过B右端的瞬时速度多大？
（3）如若B、C未固定，最终B、C间的距离多大？

Answer 1

分析 （1）BC固定时，A在BC表面上做匀减速运动，由动能可求得A的初动能；
（2）BC未固定时，先分析BC与地面间的最大摩擦力，明确BC是否滑动，再对A由运动学计算到达B右端的速度；
（3）再对A滑上C的过程分析，明确AC的运动情况，由运动学公式可求得最终BC间的距离．

解答 解：（1）对BC固定时由动能定理分析可知：
-μ₁mg×2L=0-E_K；
解得：E_K=2×0.5×10×2=20J；
（2）BC未固定时，A做减速运动，BC做加速运动；
A受到的摩擦力f_A=μ₁m_Ag=0.5×10=5N；
AB与地面的最大静摩擦A在B上时，B与地面间的摩擦力f_B=μ₂（m_A+m_B）g=0.1×（1+3）×10=4N；
C与地面的摩擦力f_C=μ₂m_Cg=0.1×10=1N；
故A对BC的摩擦力等于最大静摩擦力；故BC处于静止状态；
A的加速度a_A=μg=0.5×10=5m/s²；
故A滑到B右端时的速度为：v₀²-v₂²=2a_AL
解得：v₂=2$\sqrt{5}$m/s=4.5m/s；
（3）当A到达C上后，C做匀减速运动；加速度a_C=$\frac{{μ}_{1}{m}_{A}g-{μ}_{2}（{m}_{A}+{m}_{C}）g}{{m}_{C}}$=$\frac{5-2}{1}$=3m/s²；
假设二者可以达到速度相等，则v₂-a_At=a_Ct
解得：t=$\frac{9}{16}$s
此时A的位移x_A=v₂t-$\frac{1}{2}$a_At²
C的位移x_C=$\frac{1}{2}$a_Ct²；
解得：x_A=1.74m；
x_C=0.47m；
x_A＜L+x_C；
故二者达到共同速度，共同速度v_AC=a_ct=3×$\frac{9}{16}$=$\frac{27}{16}$m/s；
此时二者以加速度1m/s²做减速运动，共前进位移x_C'=$\frac{（\frac{27}{16}）^{2}}{2×3}$=1.44m；
故C通过的总位移x_C总=x_C+x_C′=0.47+1.44=1.91m
即BC相隔的距离为1.91m；
答：（1）物块A的初动能是20J；
（2）如若B、C未固定，A滑过B右端的瞬时速度为4.5m/s．
（3）如若B、C未固定，最终B、C间的距离为1.91m．

点评 本题考查牛顿第二定律及运动学公式的应用，因涉及三个物体，故应注意分别分析其运动状态，明确各自的运动规律，即可用牛顿第二定律和运动学公式进行分析求解．在解题时一定要注意BC是否发生滑动．