Question

11．如图所示，A、B两物体用轻绳连接，并穿在水平杆上，可沿杆滑动．水平杆固定在可绕竖直轴PQ转动的框架上，已知A、B的质量分别为m₁和m₂，且m₁＜m₂：水平杆对物体A、B的最大静摩擦力均与各物体的重力成正比，比例系数均为μ，物体A离转轴PQ的距离为R₁，物体B到转轴PQ的距离为R₂，且R₁＜R₂
（1）当框架转动的角速度缓慢增大到某一值ω₁时，连接两物体的轻绳开始有拉力，求此时的角速度ω₁
（2）当角速度增大到某一值ω₂时，其中一个物体受到杆的摩擦力为零，求此时的角速度ω₂及此时轻绳中的拉力大小（3）角速度ω₃为多大时两物体相对于水平杆开始滑动？

Answer 1

分析 （1）根据最大静摩擦力提供向心力，判断出B先达到最大静摩擦力，对B分析，根据牛顿第二定律得出连接两物体的轻绳出现拉力时的角速度．
（2）分别隔离对A、B分析，抓住A所受的摩擦力为零，结合牛顿第二定律列出表达式，联立求出绳子的拉力和角速度的大小．
（3）当两物体的摩擦力均达到最大静摩擦力时，两物体相对水平直杆开始滑动，结合牛顿第二定律列出表达式，联立求出角速度的大小．

解答 解：（1）A、B转动的角速度相等，根据μmg=mrω²得，$ω=\sqrt{\frac{μg}{r}}$，因为R₁＜R₂，
可知B先达到最大静摩擦力，
根据$μ{m}_{2}g={m}_{2}{R}_{2}{{ω}_{1}}^{2}$得，${ω}_{1}=\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$．
（2）B先到达最大静摩擦力，此后A受到绳子的拉力，当A受到的摩擦力等于0时，设拉力为T，则对A：T=${m}_{1}{R}_{1}{{ω}_{2}}^{2}$，
对B：$T+μ{m}_{2}g={m}_{2}{R}_{2}{{ω}_{2}}^{2}$，
联立得：ω₂=$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$，T=$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$．
（3）当两物体相对于水平杆开始滑动时，对A有：T-μm₁g=${m}_{1}{R}_{1}{{ω}_{3}}^{2}$，
对B有：$T+μ{m}_{2}g={m}_{2}{R}_{2}{{ω}_{3}}^{2}$，
联立解得ω₃=$\sqrt{\frac{μ（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}{R}_{1}+{m}_{2}{R}_{2}}}$．
答：（1）当框架转动的角速度缓慢增大到某一值ω₁时，连接两物体的轻绳开始有拉力，此时的角速度为$\sqrt{\frac{μg}{{R}_{2}}}$；
（2）当角速度增大到某一值ω₂时，其中一个物体受到杆的摩擦力为零，此时的角速度为$\sqrt{\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}}$，轻绳中的张力为$\frac{μ{m}_{1}{m}_{2}g{R}_{1}}{{m}_{2}{R}_{2}-{m}_{1}{R}_{1}}$．
（3）角速度ω₃为$\sqrt{\frac{μ（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}{R}_{1}+{m}_{2}{R}_{2}}}$时两物体相对于水平杆开始滑动．

点评 解决本题的关键找出A、B将要发生相对滑动时的临界情况，通过受力，结合牛顿第二定律进行分析．