Question

如图所示，光滑的半球形固定在水平面上，其半径为R，有一小球（可视为质点）静止在半球形的最高点，小球受一扰动沿球面向下滚动，初速忽略不计，重力加速度为g．
求：（1）小球落到地面时的速度大小．
（2）小球落到地面时速度的水平分量和竖直分量．

Answer 1

分析：（1）小球从开始向下滚动到落地过程，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律列式可求出小球落到地面时的速度大小．
（2）分两个过程研究：小球在球面上滚动和离开球面．当小球刚离开球面时，由重力的分力提供向心力，由牛顿第二定律和机械能守恒结合此时小球的速度；小球离开球面后做斜下抛运动，水平方向匀速运动，由速度分解求得水平方向的分速度，并求出竖直方向的分速度．

解答：解：（1）小球从开始向下滚动到落地过程，由机械能守恒定律得：

1

2

mv2=mgR  
解得：v=

2gR

（2）球离开球面时满足：mgcosα=

m v 2 1

R

由机械能守恒定律得：mgR(1-cosα)=

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

2 3 gR

，cosα=

2

3

离开球面后，小球的水平速度不变．
∴vx=v1cosα=

2

3

2 3 gR

，vy=

v 2   - v 2 x

=

46 27 gR

答：
（1）小球落到地面时的速度大小是

2gR

．
（2）小球落到地面时速度的水平分量和竖直分量分别为

2

3

2 3 gR

和

46 27 gR

．

点评：本题关键要仔细研究小球的运动过程，把握小球离开球面时的临界条件，并能结合牛顿第二定律和机械能守恒、运动的分解研究．