题目内容

14.如图所示,底边长为2L,θ=30°的等腰三角形区域内(O为底边中点)有垂直纸面向外的匀强磁场.现有一质量为m,电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后,从O点垂直于AB进入磁场,不计粒子重力与空气阻力的影响,不计粒子与AB板碰撞的作用时间,设粒子与AB板碰撞前后,电量保持不变并以相同的速率反弹.求:
(1)粒子经电场加速射入磁场时的速度;
(2)磁感应强度B为多少时,粒子能以最大的圆周半径偏转后打到AB板;
(3)如果粒子经AB板碰撞一次后,以垂直于AC速度射出磁场,求粒子在磁场中运动的时间;
(4)粒子在磁场中的运动时间随着磁感应强度的增大而增加,求粒子在磁场内运动的极限时间.

分析 (1)根据动能定理求出粒子经电场加速后射入磁场时的速度.
(2)要使圆周半径最大,则粒子的圆周轨迹应与AC边相切,作出粒子的运动轨迹,根据几何关系求出半径,结合半径公式求出磁感应强度的大小.
(3)作出粒子的运动轨迹,根据弧长和速度求出运动的时间.
(4)当r越小,后一次打到ED板的点越靠近E端点,在磁场中圆周运动累积路程越大,时间越长.当r为无穷小,经过n个半圆运动,最后一次打到E点.

解答 解:(1)依题意,粒子经电场加速射入磁场时的速度为v,由动能定理得:
由$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$,①
得v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$.     ②
(2)要使圆周半径最大,则粒子的圆周轨迹应与AC边相切,设圆周半径为R,
由图中几何关系:R+$\frac{R}{sinθ}$=L    ③
由洛伦兹力提供向心力:$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$    ④
联立①②③④解得B=$\frac{3\sqrt{2Uqm}}{qL}$.  ⑤
(3)由图b可知,运动的半径r=$\frac{L}{3}$,
${t}_{1}=\frac{πL}{3v}$,
${t}_{2}=\frac{\frac{π}{6}}{2π}•\frac{2πL}{3v}=\frac{πL}{18v}$.
则$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{7πL}{18v}$=$\frac{7πL}{18}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$.
(4)如图c,设粒子运动圆周半径为r,则r=$\frac{mv}{qB}$,
当r越小,最后一次打到AB板的点越靠近A端点,在磁场中圆周运动累积路程越大,时间越长,当r为无穷小,经过n个半圆圆周运动,如图所示,最后一次打到A点.
有:$n=\frac{L}{2r}$    ⑥
最长的极限时间${t}_{m}=n\frac{πr}{v}=\frac{πL}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$.
答:(1)粒子经电场加速射入磁场时的速度为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$.  
(2)磁感应强度B为$\frac{3\sqrt{2Uqm}}{qL}$时,粒子能以最大的圆周半径偏转后打到AB板.
(3)粒子在磁场中运动的时间为$\frac{7πL}{18}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$.
(4)粒子在磁场内运动的极限时间为$\frac{πL}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$.

点评 做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图,利用几何知识求出粒子运动的半径,再结合半径公式和周期公式去分析.

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