题目内容
10．
如图所示，一边长a=0.2m的1000匝导线框，线框内部加有垂直线框平面的均匀变化的匀强磁场．线框两端通过导线与一间距为d=0.24m的垂直纸面放置的平行板电容器连接，电容器右侧的边界MN右侧空间加有一电场强度为E=100V/m的匀强电场（图中未标出）．一质量为m、电荷量为q=5×10-6C的带正电的微粒从板的左端中点O以速度v=0.5m/s水平射入极板间，恰好沿直线通过极板，并垂直进入左边界为MN、右边界为PQ的宽为L=0.4m的匀强磁场，恰能做匀速圆周运动．磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B0=10T．已知g=10m/s2．（1）求线框区域磁场的变化率k．
（2）求微粒通过磁场过程中偏离初速方向的距离y．
（3）若在PQ的右侧再加上一垂直纸面向外的磁感应强度为B1的匀强磁场，并适当调节L的大小，发现该带电微粒经两磁场作用后，恰能原速度大小返回出发位置O．求磁感应强度B1与宽度L满足的变化关系．（结果所含根号可保留）
分析 （1）由微粒在极板之间做直线运动，所以受到的合外力为0，由此求出电场强度的大小，由U=Ed求出电势差，即线圈产生的电动势，然后结合法拉第电磁感应定律即可求出线框区域磁场的变化率k．
（2）微粒在MN与PQ之间做匀速圆周运动，一定是洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出半径，画出运动飞轨迹即可求出微粒通过磁场过程中偏离初速方向的距离y．
（3）画出微粒能发回O点的运动的轨迹，结合几何关系，即可求出．
解答 解：（1）微粒在MN与PQ之间做匀速圆周运动，一定是洛伦兹力提供向心力，则微粒的重力等于电场力，即：qE=mg
$m=\frac{qE}{g}$
由微粒在极板之间做直线运动，所以受到的合外力为0，即：qE′=mg
所以电场强度的大小：$E′=\frac{mg}{q}$，
由U=Ed得极板之间的电势差：$U=Ed=\frac{mgd}{q}$，即线圈产生的电动势，
又由法拉第电磁感应定律：$U=N\frac{△B•S}{△t}=k•NS$
所以线框区域磁场的变化率：k=$\frac{mgd}{NqS}$=$\frac{dE}{NS}=\frac{0.24×100}{1000×0．{2}^{2}}=0.6$T/s．
（2）微粒在MN与PQ之间做匀速圆周运动，一定是洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$
半径${r}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{0}}$=$\frac{Ev}{g•{B}_{0}}=\frac{100×0.5}{10×10}=0.5$m，画出运动飞轨迹如图，微粒通过磁场过程中偏离初速方向的距离y：
$y={r}_{1}-\sqrt{{r}_{1}^{2}-{L}^{2}}=0.5-\sqrt{0．{5}^{2}-0．{4}^{2}}=0.2$m．
（3）结合带电微粒在磁场中运动的对称性，如图画出微粒能发回O点的运动的轨迹，结合几何关系可知：θ+β=90°，$cosθ=\frac{\sqrt{{r}_{1}^{2}-{L}^{2}}}{{r}_{1}}$，$sinβ=\frac{y}{{r}_{2}}$，又：sinβ=cosθ
微粒在PQ右侧的磁场中运动的半径：${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{1}}$
联立以上方程，整理得：$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\frac{（\frac{mv}{q{B}_{0}}）^{2}-\frac{mv}{q{B}_{0}}•\sqrt{（\frac{mv}{q{B}_{0}}）^{2}-{L}^{2}}}{\sqrt{（\frac{mv}{q{B}_{0}}）^{2}-{L}^{2}}}$
代入数据得：${B}_{1}=\frac{\sqrt{0.25-{L}^{2}}}{0.05-0.1\sqrt{0.25-{L}^{2}}}$
答：（1）线框区域磁场的变化率是0.6T/s．
（2）微粒通过磁场过程中偏离初速方向的距离是0.2m．
（3）磁感应强度B1与宽度L满足的变化关系为：${B}_{1}=\frac{\sqrt{0.25-{L}^{2}}}{0.05-0.1\sqrt{0.25-{L}^{2}}}$．
点评 该题考查带电微粒在组合场中的运动以及法拉第电磁感应定律，涉及的过程比较多，要理清微粒运动的过程，同时要结合粒子在磁场中运动的对称性能够正确画出微粒运动的轨迹，才能正确解答该题．
一本好题口算题卡系列答案| A． | 周期是0.02 s | B． | 频率是100 Hz | C． | 有效值是25 V | D． | 最大值是50$\sqrt{2}$ V |
如图所示，竖直放置的弹簧，小球从弹簧正上方某一高处落下，从球接触弹簧到弹簧被压缩到最大的过程中，关于小球运动的下述说法中正确的是（ ）| A． | 小球的机械能不断减小 | B． | 小球的机械能不断增大 | ||
| C． | 弹簧的弹性势能不断增大 | D． | 弹簧的弹性势能不断减小 |
俯式冰撬（Skeleton）又叫钢架雪车，是2014年索契冬奥会的比赛项目之一．俯式冰橇的赛道可简化为长度为1200m、起点和终点高度差为120m的斜坡．比赛时，出发信号灯亮起后，质量为M=70kg的运动员从起点开始，以F=40N、平行赛道的恒力推动质量m=40kg的冰撬开始运动，8s末迅速登上冰撬与冰撬一起沿直线运动直到终点．已知冰撬与赛道间的动摩擦因数μ=0.05，设运动员登上冰撬前后冰撬速度不变，不计空气阻力，求：（g=10m/s2，取赛道倾角的余弦值为1）| A． | 压强变大时，气体分子间的平均距离必然变小 | |
| B． | 气体温度越高，压强越小，气体越稀薄，就越接近理想气体 | |
| C． | 气体分子的运动速率分布具有“中间多，两头少”的特点 | |
| D． | 气体对器壁的压强就是大量气体分子作用在器壁单位面积上的平均作用力 | |
| E． | 一定质量的理想气体，在温度不变的条件下，外界对其做功，内能增加 |
| A． | 副线圈两端电压的瞬时值表达式为u=220$\sqrt{2}$sin50πt V | |
| B． | 电压表示数为1100$\sqrt{2}$V | |
| C． | 纯电阻的发热功率是电动机发热功率的2倍 | |
| D． | 1min内电动机消耗的电能为1.32×104 J |
如图所示，面积为0.02m2、内阻不计的100匝矩形线圈ABCD，绕垂直于磁场的轴OO′以100rad/s角速度匀速转动，匀强磁场的磁感应强度为$\frac{\sqrt{2}}{2}$T．矩形线圈通过滑环与理想变压器相连，触头P可移动，副线圈所接电阻R=50Ω，电表均为理想交流电表．当线圈平面转至与磁场方向平行时开始计时．下列说法正确的是（ ）| A． | P上移时，电流表示数减小 | |
| B． | t=0时，电压表示数为100$\sqrt{2}$V | |
| C． | 线圈中感应电动势瞬时值的表达式为e=100$\sqrt{2}$sin（100t）V | |
| D． | 当原、副线圈匝数比为2：1时，电阻上消耗的功率为50W |
如图甲，固定在光滑水平面上的正三角形金属线框，匝数n=20，总电阻R=2.5Ω，边长L=0.3m．处在两个半径均为r=$\frac{L}{3}$的圆形匀强磁场区域中．线框顶点与右侧圆中心重合，线框底边中点与左侧圆中心重合．磁感应强度B1垂直水平面向外，大小不变；B2垂直水平面向里，大小随时间变化，B1、B2的值如图乙所示．（π取3）（ ）| A． | 通过线框中感应电流方向为逆时针方向 | |
| B． | t=0时刻穿过线框的磁通量为0.1Wb | |
| C． | 在t=0.6s内通过线框中的电量为0.006C | |
| D． | 经过t=0.6s线框中产生的热量为0.06J |