Question

4．某同学利用电磁学知识自主设计了一款小玩具，该玩具简易模型图如图1所示，水平U形轨道，cd垂直于ae，在轨道左侧abcd区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化如图2所示，轨道右侧区域cdef存在电磁弹射系统，当导体棒开始运动时，该系统自动开启，它能给导体棒提供水平向右大小恒为F=0.4N的推力，在轨道右侧固定一个$\frac{1}{4}$圆柱形挡板，圆柱半径R=0.1m，圆柱的中心轴线与ef重合，且圆柱形挡板最高点与轨道等高．现有一导体棒静止放在轨道cd位置，已知距离ac=0.1m，cd=0.2m，ce=0.5m，导体棒的质量m=0.1kg，电阻R₀=0.1Ω，与水平轨道间动摩擦因素大小μ=0.2（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），轨道电阻忽略不计，在整个运动过程中导体棒终保持水平，g取10m/s²．求：

（1）t=0时刻起经过多少时间导体棒开始运动；
（2）为使导体能够到达ef，电磁弹射系统至少需要开启多少时间；
（3）通过改变电磁弹射系统所提供的水平推力及开启时间，可使导体棒击中挡板的不同位置，求击中挡板时导体棒动能的最小值．

Answer 1

分析 （1）由电磁感应定律和欧姆定律求解电流强度，根据共点力的平衡条件和安培力的计算公式求解；
（2）根据动能定理、位移时间关系和牛顿第二定律列方程联立求解；
（3）在水平方向和竖直方向根据平抛运动的规律列方程，再由机械能守恒得到动能的表达式，由数学知识求解最小值．

解答 解：（1）由电磁感应定律得：E=$n\frac{△Φ}{△t}=\frac{△BS}{△t}=0.02V$，
由欧姆定律得：$I=\frac{E}{R_0}=0.2A$
要运动最少满足：F_安=BIL=μmg
由图可得：$B=\frac{△B}{△t}t$
解得：t=5s
（2）由动能定理得：Fx-μmgce=△E_k=0，
由运动学公式得：$x=\frac{1}{2}a{t^2}$
由牛顿第二定律得：$a=\frac{F-f}{m}=2m/{s^2}$
解得：t=0.5s；
（3）设小物块击中挡板的任意点坐标为（x，y），则
水平方向：x=v₀t
竖直方向：$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
由机械能守恒得：${E_k}=\frac{1}{2}mv_0^2+mgy$
由于：x²+y²=R²
化简得：${E_k}=\frac{1}{4}mg\frac{R^2}{y}+\frac{3}{4}mgy$
由数学不等式得：$\frac{1}{4}mg\frac{{R}^{2}}{y}=\frac{3}{4}mgy$，
即当$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}R$ 时E_k最小
求得：${E_k}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR=\frac{{\sqrt{3}}}{20}J$．
答：（1）t=0时刻起经过5s导体棒开始运动；
（2）为使导体能够到达ef，电磁弹射系统至少需要开启0.5s；
（3）通过改变电磁弹射系统所提供的水平推力及开启时间，可使导体棒击中挡板的不同位置，击中挡板时导体棒动能的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{20}J$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．