Question

17．电梯的简化模型如图1所示．考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度a是随时间t变化的，已知电梯在t=0时由静止开始上升，a-t图象如图2所示．电梯总质量m=2.0×10³kg．忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s²．
（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）求电梯以最大速率上升时，拉力做功功率P；
（3）求在0-11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W．

Answer 1

分析 （1）由图读出电梯向上加速运动的最大加速度和减速运动的最大加速度大小，由牛顿第二定律求解最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）运用类比法可知，a-t图象与坐标轴所围的“面积”等于速度变化量，由a-t图象可知，11s～30s内速率最大，其值等于0～11s内a-t图线下的面积，此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，由P=Fv求出拉力的功率．
（3）由动能定理求解拉力和重力对电梯所做的总功W．

解答 解；（1）由牛顿第二定律，有 F-mg=ma
由a─t图象可知，最大拉力F₁和最小拉力F₂对应的加速度分别是 a₁=1.0m/s²，a₂=-1.0m/s²．
则  F₁=m（g+a₁）=2.0×10³×（10+1.0）N=2.2×10⁴N
F₂=m（g+a₂）=2.0×10³×（10-1.0）N=1.8×10⁴N
（2）由a-t图象可知，11s～30s内速率最大，其值等于0～11s内a-t图线下的面积，有 υ_m=10m/s
此时电梯做匀速运动，拉力F等于重力mg，所求功率
  P=Fυ_m=mg•υ_m=2.0×10³×10×10W=2.0×10⁵W
（3）由动能定理得知，拉力和重力对电梯所做的总功 W=E_k2-E_k1=$\frac{1}{2}$mυ_m²-0=$\frac{1}{2}$×2.0×10³×10²J=1.0×10⁵J
答：
（1）电梯在上升过程中受到的最大拉力F₁是2.2×10⁴N，最小拉力F₂是1.8×10⁴N．
（2）电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P为2.0×10⁵W；
（3）在0-11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W是1.0×10⁵J．

点评 本题一要有基本的读图能力，并能根据加速度图象分析电梯的运动情况；二要能运用类比法，理解加速度图象“面积”的物理意义，知道a-t图象与坐标轴所围的“面积”等于速度变化量．