题目内容
【题目】如图所示，半径为
、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l．当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a、b与杆在同一竖直平面内）．求：
（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆？
（2）轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系．
【答案】（1）竖直杆角速度ω为
时，小球恰离开竖直杆；
（2）轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为：
①0≤ω2≤
时，Fa=
；
②
时，
；
③ω2
时，
．
【解析】试题分析：（1）小球恰离开竖直杆时，受重力和拉力，拉力的竖直分力与重力平衡，水平分力提供向心力；
（2）分墙壁对球有弹力、球飞起、绳子b也有弹力三种情况讨论，注意合力的水平分力提供向心力，合力竖直分力为零．
解：（1）小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α，由题意可知：
水平方向：Fasinα=mω2r
竖直方向：Facosα=mg
联立解得：ω2=
故ω=
（2）由（1）可知0≤ω2≤时，Fa=
若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r=lsinβ
水平方向：
竖直方向：Facosβ=mg
联立解得：
当轻绳恰升直时，β=60°，此时ω=
固有，此时
若角速度ω再增大，轻绳b拉直后，小球做圆周运动的半径为r=lsin60°
水平方向：
竖直方向：Facos60°=Fbcos60°+mg
联立解得：
，此时ω2
答：（1）竖直杆角速度ω为时，小球恰离开竖直杆；
（2）轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为：
①0≤ω2≤时，Fa=；
②时，；
③ω2时，．
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