Question

8．利用万有引力定律可以测量天体的质量
（1）测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．若忽略地球自转影响，求地球的质量．
（2）测月球的质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动两个星球A和B，如图所示．在地月系统中，若忽略其它星球影响，可将月球和地球看成“双星系统”．已知月球公转周期为T，月球、地球球心间距离为L．你还可以利用（1）中提供的信息，求月球的质量．

Answer 1

分析 （1）根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，可解得地球的质量M；
（2）双星问题，它们之间的万有引力提供向心力，它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离．求出地球和月球的总质量，再减去（1）中求出的地球质量即为月球质量．

解答 解：（1）设地球质量为M，地球表面某物体的质量为m，忽略地球自转的影响，则有$\frac{GMm}{R^2}=mg$，
解得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
（2）设地球质量为M₁，地球到O点的距离为r₁，月球质量为M₂，月球到O点的距离为r₂，$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{L^2}={M_1}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_1}$$\frac{{G{M_1}{M_2}}}{L^2}={M_2}{（\frac{2π}{T}）^2}{r_2}$
又因为r₁+r₂=L联立解得${M_1}+{M_2}=\frac{{4{π^2}{L^3}}}{{G{T^2}}}$，
由（1）可知${M_1}=\frac{{g{R^2}}}{G}$
解得月球质量${M_2}=\frac{{4{π^2}{L^3}}}{{G{T^2}}}-\frac{{g{R^2}}}{G}$
答：（1）地球的质量$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）月球的质量为$\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}-\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$

点评 本题要掌握两个关系：星球表面的物体受到的重力等于万有引力；环绕天体绕中心天体做圆周运动所需要的向心力由万有引力提供．这两个关系可以解决天体运动的一切问题，双星问题，要注意的是它们两颗星的轨道半径的和等于它们之间的距离，不能把它们的距离当成轨道半径．