Question

【题目】雨滴下落时由于空气阻力的作用，经过一段加速后会趋近匀速下落。为解释雨滴下落过程中的各种现象，某同学查阅资料发现，若将雨滴视作半径为r的球体，则在竖直下落过程中雨滴所受的阻力满足公式，其中k为常数，v为雨滴下落的速度大小。已知雨滴的密度为ρ，重力加速度为g.

（1）取雨滴由静止开始下落的时刻作为计时起点，请在下面的v-t图中定性画出雨滴从高空开始下落后直至落地前的过程中，其速度随时间的变化图像（取竖直向下为正方向，且不考虑与其它雨滴的碰撞）；

（2）若某一雨滴的半径为rc，某时刻在竖直方向加速下落的速度大小为vc，求该时刻雨滴加速度的大小a；

（3）高空中的雨滴竖直下落后打在沙滩上会留下深浅不一的小坑，该同学查阅资料后认为坑的深浅取决于雨滴撞击地面时的平均压强。为简化问题，雨滴撞击地面时可视为圆柱体形状，且撞击时间极短，撞击后的速度为零。请你帮助该同学推导此雨滴撞击地面时平均压强p的表达式（结果用ρ、g、k和 r表示）。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）速度随时间的变化图像如图所示。

（2）该雨滴的质量为

速度为vc时，雨滴所受的阻力为

由牛顿第二定律有

可得

（3）雨滴撞击地面时，取极短时间Δt内与地面作用的质量为Δm的一小部分为研究对象，由于时间极短，可不计重力影响。

取竖直向下为正方向，由动量定理有

其中

根据牛顿第三定律可得雨滴对地面的压力大小也为F，由压强公式有

联立以上各式可得

①

依据题意有

②

其中

③

联立①②③式可得