Question

4．如图所示，水平面与竖直面内半径为R的半圆形轨道在B点相切．一个质量为m的物体将弹簧压缩至离B点3R的A处由静止释放，物体沿水平面向右滑动，一段时间后脱离弹簧，经B点进入半圆轨道时对轨道的压力为8mg，之后沿圆形轨道通过高点C时速度为$\sqrt{gR}$．物体与水平面间动摩擦因数为0.5，不计空气阻力．求：
（1）经B点时物体的向心力大小；
（2）离开C点后物体运动的位移；
（3）弹簧的弹力对物体所做的功．

Answer 1

分析 （1）经B点时物体的向心力大小直接对物块在B点受力分析即可；
（2）平抛运动求位移要将运动分解为水平和竖直方向运动；
（3）弹簧弹力做功属于变力做功，用动能定理求解．

解答 解：（1）物块对轨道的压力F₁，轨道对物体的支持力F₂，由牛顿第三定律知：
F₁=F₂
对物块在B点受力分析，由向心力公式和牛顿第二定律得：
F_向心力=F₂-mg=7mg
（2）离开C点后物体做平抛运动：
竖直方向：y=2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：v_C=$\sqrt{gR}$
               x=v_Ct=2R
总位移x_位=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$R，方向与水平面成45°的角斜向左下方．
（3）物体从A到B过程中：
W_f=μmgx_AB=1.5mgR
对物块在B点受力分析：
F_向心力=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
物块在B点动能E_kB=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$=3.5mgR
设弹簧的弹力对物体所做的功为W_F，物块从A到B用动能定理：
W_F-W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-0
W_F=5mgR
答：（1）经B点时物体的向心力大小为7mg；
（2）离开C点后物体运动的位移大小为2$\sqrt{2}$R，方向与水平面成45°的角斜向左下方；
（3）弹簧的弹力对物体所做的功为5mgR．

点评 本题主要考点是用动能定理求变力做功，这是动能定理最常见的一个应用，学生注意选择合理的过程简化运算过程，每个过程做功不同，要细心分析，不可遗漏．