Question

19．现代宇宙学认为，恒星在演变过程中，有可能形成密度很大的天体，即成为白矮星或中子星．已知某中子星的密度为1.5×10¹⁷kg．
求：（1）绕该中子星做匀速圆周运动的行星的最小周期T为多少？
（2）若该中子星的半径为10km，那么在该中子星表面附近绕中子星做匀速圆周运动的行星的线速度v是多大？（G=6.67×10^-11N•m²/kg²）

Answer 1

分析 （1）由密度公式的变形公式求出中子星的质量，卫星绕中子星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律列方程，可以求出卫星的最小周期
（2）卫星绕中子星表面，即卫星轨道半径等于中子星半径时的速度是第一宇宙速度，由万有引力定律列方程可以求出中子星的第一宇宙速度．

解答 解：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m（$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
中子量质量M=ρV=ρ×$\frac{4}{3}$πR³，
解得，卫星最小周期：T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$=9.7×10^-4s 
（2）中子星的半径为R=10×10³m，则中子星的密度为：ρ=1.5×10¹⁷kg/m³，
则中子星的质量为：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$
第一宇宙速度是近地卫星的运动速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得第一宇宙速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=6.5×10⁷m/s
答：（1）卫星最小周期为9.7×10^-4s 
（2）绕中子星做匀速圆周运动的行星的线速度v是6.5×10⁷m/s

点评 本题考查了求卫星的周期及第一宇宙速度问题，知道万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，知道第一宇宙速度的概念即可正确解题