Question

如图所示，内壁光滑的半径为R的圆形轨道，固定在竖直平面内，质量为m₁小球静止在轨道最低点，另一质量为m₂的小球（两小球均可视为质点）从内壁上与圆心O等高的位置由静止释放，到最低点时与m₁发生弹性碰撞，求：
（1）小球m₂运动到最低点时的速度大小；
（2）碰撞后，欲使m₁能沿内壁运动到最高点，则m₂/m₁应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）小球m₂运动到最低点时的过程中机械能守恒，代入公式即可求得速度；
（2）两个小球碰撞的过程中动量守恒，机械能守恒，写出相应的公式，求得碰撞后的速度；碰撞后小球沿内壁上升的过程，机械能守恒，在最高点时重力恰好提供向心力，联立几个公式，即可求得结果．

解答：解析：（1）设小球m₂运动到最低点时的速度为v₀，由机械能守恒，得m2gR=

1

2

m2

v

2 0

①
解得v0=

2gR

②
（2）设弹性碰撞后，m₁、m₂两球的速度分别为v₁、v₂，则m₂v₀=m₁v₁+m₂v₂ ③
  

1

2

m2

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

    ④
  由③④两式解得v1=

2m2v0

m1+m2

     ⑤（另一解不合实际，舍去）
  设m₁运动到轨道的最高点时速度为v，则有m1g=

m1v2

R

  ⑥
小球m₁由最低点运动最高点的过程中机械能守恒，则

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m1v2=2m1gR⑦
由②⑤⑥⑦式解得

m2

m1

≥

5

2 2 - 5

≈3.78⑧
答：（1）小球m₂运动到最低点时的速度为

2gR

；
（2）碰撞后，欲使m₁能沿内壁运动到最高点，则

m2

m1

应满足

m2

m1

≥3.78．

点评：本题解题的关键是对两个小球运动情况的分析，知道小球做什么运动，并能结合机械能守恒、动量守恒等关系解题，难度比较大．