Question

14．如图所示，光滑的金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨足够长，电阻不计，两轨间距为L，其左端连接一阻值为R的电阻．导轨处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，一质量为m的金属棒，放置在导轨上，其电阻为r，某时刻一水平力F垂直作用在金属棒中点，金属棒从静止开始做匀加速直线运动，已知加速度大小为a，金属棒始终与导轨接触良好．
（1）从力F作用开始计时，请推导F与时间t关系式；
（2）F作用时间t₀后撤去，求金属棒能继续滑行的距离S．

Answer 1

分析 （1）根据E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F_安=BIL得到安培力与速度的关系式．速度与时间的关系是v=at．再由牛顿第二定律推导F与t的关系即可；
（2）先求出撤去F时棒的速度．撤去外力后，根据动量定理得到速度变化量，再求和可求解．

解答 解：（1）设t时刻，电路中电流为I，对金属棒由：F-BIL=ma①
根据闭合电路欧姆定律可得BLv=I（R+r）②
金属棒速度v=at③
联立解得$F=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}at+ma$
（2）撤去F瞬间，金属棒速度v₀=at₀
在△t时间内，取金属棒速度方向为正方向．
由动量定理-ILB△t=m△v
两边求和$\sum{-ILB△t=m△v}=\sum{m△v}$
BLv=I（R+r）
联立可得$-\frac{{{B^2}{L^2}}}{r+R}\sum{vt}=-ma{t_0}$
即$S=\frac{{ma{t_0}（R+r）}}{{{B^2}{L^2}}}$
答：（1）从力F作用开始计时，请推导F与时间t关系式为$F=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}at+ma$；
（2）F作用时间t₀后撤去，求金属棒能继续滑行的距离为$\frac{ma{t}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 解决本题的关键：一、要熟练推导出安培力与速度的关系式．二、能运用微元法求解变减速运动的位移，其切入点是动量定理的运用．也可用牛顿第二定律和加速度的定义式．