Question

在光滑水平面上有质量均为lkg，半径均为5cm的A、B两个小球．如图所示，小球．A从很远处以水平速度v₀=2m/s向右正对B球运动，从某时刻两小球间开始有F=2N的恒定引力作用．在经过一段时间后，两球间距缩小4m，从此时刻起，两球间开始有F'=2N的恒定斥力作用．
（1）两球从开始有引力作用到开始有斥力作州经历时间为多少？
（2）为了使两球不相碰，开始有斥力时两球球心间距离应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求得两球的加速度，由位移公式和位移之和等于4m列式求解时间．
（2）两球间开始有斥力后，A球先做匀减速运动，B球先做匀减速运动到速度为零，后再反方向加速，两球速度相等之前，两球间的距离一直减小，之后就逐渐增大，如果在两球速度相等之前不相碰，以后就不会相碰．根据速度公式和速度相等的关系列式，求解出两球开始时有斥力时的速度，运用运动学速度位移关系公式求解即可．

解答：解：（1）当两球间有引力作用时，设两球的加速度大小分别为：a_A和a_B．由牛顿第二定律得：
   a_A=a_B=

F

m

=

2

1

=2m/s²．
再由位移关系得：v_At+

1

2

aAt2+

1

2

aBt2=4
联立解得 t=1s
（2）设两球开始时有斥力作用时的速度大小分别为v_A和v_B，则
  v_A=v₀+a_At，v_B=a_Bt；
分析两球的运动情况：两球间开始有斥力后，A球先做匀减速运动，B球先做匀减速运动到速度为零，后再反方向加速，两球速度相等之前，两球间的距离一直减小，之后就逐渐增大，如果在两球速度相等之前不相碰，以后就不会相碰．设这段时间为t′，共同速度为v，开始有斥力时两球球心间距离为S，两球的加速度大小仍相同，并为a_A=a_B=2m/s²．
取v_A的方向为正方向，v=v_A-a_At′，v=-v_B+a_Bt′
联立以上方程解得：v_A=4m/s，v_B=2m/s，v=1m/s
两球的位移分别为：S_A=

v 2 A -v2

2aA

，S_B=

v 2 B -v2

2aB

不相碰应满足：S_A+S_B+2r≤S
代入数据解得：S≥4.6m
答：
（1）两球从开始有引力作用到开始有斥力作州经历时间为是1s．
（2）为了使两球不相碰，开始有斥力时两球球心间距离应满足大于等于4.6m．

点评：解决本题的关键是抓住两球的相互作用力是恒力，两球都做匀变速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式分析两球的运动过程，抓住两球速度相同时，相距最远是关键．