Question

13．如图所示，在光滑的水平面上有一质量为2m的足够长的长木板B，其上表面离长木板B的右端距离为l=0.7m处放一质量为m的物块A（可视为质点），长木板离传送带左侧的距离为l₁=3.2m，且传送带的上端与长木板B的上表面相平齐，现给长木板B一个水平向右，大小为F=$\frac{3}{2}$μmg的推力，当长木板B与传送带左侧相碰的瞬间，长木板B立即停止且固定不动，同时撤去力F，物块A以某一速度滑上以顺时针匀速转动，速度为v（未知），长度为l₂=0.5m的传送带后滑上与水平夹角为θ=37°的足够长的斜面，且物块A在斜面上上滑过程的位移与时间关系为s=kt-5t²（m）且k＞0，已知物块A与长木板B、传送带及斜面之间的动摩擦因数均为μ，传送带转动轮大小忽略不计，滑块A通过轨道衔接处时无能量损失，重力加速度取g=10m/s²，求（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）μ的值；
（2）滑块A滑上传送带时的速度大小
（3）物块A在斜面上上升的最大高度h与速度v的关系．

Answer 1

分析 （1）物体滑上斜面的位移时间关系式结合位移公式求出加速度，再根据牛顿第二定律求出动摩擦因数；
（2）AB先一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求出整体的加速度，再根据速度位移公式求出B刚与传送带碰撞的速度；之后B静止，A继续向右做匀减速直线运动，由速度位移公式即可求出物块A滑上传送带时的速度；
（3）A与传送带相互作用，根据牛顿第二定律求出加速度，再分情况讨论A在传送带上的运动情况，从而得到冲上斜面的初速度，从而求出最大高度；

解答 解：（1）物块A在斜面上上滑过程的位移与时间关系$s=kt-5{t}_{\;}^{2}$，结合$x={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
得$\frac{1}{2}a=-5$，即$a=-10m/{s}_{\;}^{2}$
物体沿斜面上滑过程中，根据牛顿第二定律，有：
mgsin37°+μmgcos37°=ma
得a=gsin37°+μgcos37°
即：gsin37°+μgcos37°=10
解得：μ=0.5
（2）对AB整体，根据牛顿第二定律，有
$F=（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）{a}_{1}^{\;}$
代入数据解得：${a}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}μg＜μg$，所以AB相对静止，一起向右匀加速直线运动，当长木板B与传送带左端相碰时，速度为${v}_{0}^{\;}$
根据速度位移公式得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2{a}_{1}^{\;}{l}_{1}^{\;}}=\sqrt{2×\frac{1}{2}μg×{l}_{1}^{\;}}$=$\sqrt{μg{l}_{1}^{\;}}=\sqrt{0.5×10×3.2}=4m/s$
木板停止运动后，物块由于惯性，继续向右做匀减速直线运动，设滑块A刚滑上传送带的速度为${v}_{1}^{\;}$
由牛顿第二定律：$μmg=m{a}_{2}^{\;}$，得${a}_{2}^{\;}=μg=5m/{s}_{\;}^{2}$
${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}=2（-{a}_{2}^{\;}）l$
代入数据解得${v}_{1}^{\;}=3m/s$
（3）如物块在传送带上可能一直做匀减速直线运动，
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{3}^{\;}{l}_{2}^{\;}$
得${v}_{2}^{\;}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+2{a}_{3}^{\;}{l}_{2}^{\;}}$=$\sqrt{{3}_{\;}^{2}+2×（-5）×0.5}=2m/s$
传送带的速度v≤2m/s，物块在传送带上一直做匀减速直线运动，到达传送带右端时速度为2m/s
在斜面上上升的最大高度$h=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}sin37°=\frac{{2}_{\;}^{2}}{2×10}×0.6=0.12m$
传送带的速度v=3m/s，上升的最大高度$h=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}sin37°=\frac{{3}_{\;}^{3}}{2×10}×0.6=0.27m$
物块A在传送带上一直做匀加速直线运动，
${v}_{3}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{3}^{\;}{l}_{2}^{\;}$
得：${v}_{3}^{\;}=\sqrt{14}m/s$
如果传送带的速度$v≥\sqrt{14}m/s$
物块在斜面上上升的最大高度$h=\frac{{v}_{3}^{2}}{2a}sin37°=\frac{14}{20}×0.6=0.42$
故传送带的速度0≤v≤2m/s，一直做匀减速运动，物块A上升的最大高度h=0.12m
传送带的速度2m/s＜v＜3m/s，先匀减速后与传送带共速做匀减速运动，0.12m＜h＜027m
传送带的速度v=3m/s，匀速运动，h=027m，
传送带的速度$3m/s＜v＜\sqrt{14}m/s$，先匀加速运动速度与传送带速度相等再做匀速运动，上升的最大高度0.27m＜h＜0.42m
传送带的速度$v≥\sqrt{14}m/s$，一直做匀加速运动，上升的最大高度h=0.42m
答：（1）μ的值0.5；
（2）滑块A滑上传送带时的速度大小3m/s
（3）物块A在斜面上上升的最大高度h与速度v的关系．
0≤v≤2m/s，h=0.12m；2m/s＜v＜3m/s，0.12m＜h＜027m；$3m/s＜v＜\sqrt{14}m/s$，0.27m＜h＜0.42m；$v≥\sqrt{14}m/s$，h=0.42m

点评 解决本题的关键理清物块在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．