Question

【题目】如图 1 所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视 为质点），弹簧处于原长时小球位于 O 点。将小球从 O 点由静止释放，小球沿竖直方向在OP 之间做往复运动，如图 2 所示。小球运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。不计空气 阻力，重力加速度为 g。

（1）在小球运动的过程中，经过某一位置 A 时动能为 Ek1，重力势能为 EP1，弹簧弹 性势能为 E 弹 1，经过另一位置 B 时动能为 Ek2，重力势能为 EP2，弹簧弹性势能为 E 弹 2。 请理论探究弹簧、 小球和地球组成的系统机械能守恒；

（2）已知弹簧劲度系数为 k。以 O 点为坐标原点，竖直向下为 x 轴正方向，建立一 维坐标系 O-x，如图 2 所示。 a．请在图 3 中画出小球从 O 运动到 P 的过程中，弹簧弹力的大小 F 随相对于 O 点的 位移 x 变化的图象。 根据 F-x 图象求出小球从 O 运动到任意位置 x 的过程中弹簧弹力所做的功 W，以及小 球在位置 x 时弹簧的弹性势能 E 弹； b．已知小球质量为 m，求小球经过 OP 中点时瞬时速度的大小 v。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a．kx2 b．

【解析】

试题分析：（1）设重力做的功为WG，弹力做的功为W弹

根据动能定理得 WG+W弹=Ek2-Ek1

由重力做功与重力势能的关系 WG=Ep1-Ep2

由弹力做功与弹性势能的关系 W弹=E弹1-E弹2

联立以上三式可得 Ek1+Ep1+E弹1=Ek2+Ep2+E弹2；

（2）a．F-x图象如图所示

图中的图线和x轴围成的面积表示功的大小

所以弹力做功为 W=-kx2

由弹力做功与弹性势能的关系 W弹=0-E弹

解得 E弹=kx2

b．小球由O点到OP中点，根据动能定理得： mgx-kx2=mv2-0

小球由O点到P点，根据机械能守恒定律得： mg2x=k（2x）2

解得