Question

15．如图所示，光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线，线的一端系一质量为3m的重物，另一端系一质量为m、电阻为r的金属杆．在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF，在QF之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻不计，磁感应强度为B₀的匀强磁场与导轨平面垂直，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降．运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，（忽略所有摩擦，重力加速度为g），求：
（1）电阻R中的感应电流方向；
（2）重物匀速下降的速度v；
（3）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热Q_R．

Answer 1

分析 （1）根据右手定则判断出电阻R中的感应电流方向．
（2）抓住金属杆平衡，结合拉力的大小，以及安培力公式求出重物匀速下降的速度大小．
（3）根据能量守恒定律求出电路中产生的总焦耳热，结合电阻的关系得出电阻R中产生的焦耳热．

解答 解：（1）根据与右手定则知，通过电阻R中的感应电流方向为Q→R→F．
（2）当重物匀速下降时，对金属杆分析，T-mg-F_A=0，
T=3mg，${F}_{A}={B}_{0}IL=\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
解得v=$\frac{2mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（3）设电路中产生的总焦耳热为Q，根据能量守恒定律得，减小的重力势能等于增加的动能和焦耳热Q，
$3mgh-mgh=\frac{1}{2}（3m）{v}^{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
电阻R中产生的焦耳热${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{2mghR}{R+r}-\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1）电阻R中的感应电流方向为Q→R→F；
（2）重物匀速下降的速度v为$\frac{2mg（R+r）}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$；
（3）重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的焦耳热为$\frac{2mghR}{R+r}-\frac{8{m}^{3}{g}^{2}（R+r）R}{{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，正确分析金属杆的受力情况和能量如何转化是关键．对于连接体，可以对整体分析，也可以隔离分析．