Question

15．已知某星球的质量是地球质量的81倍，半径是地球半径的9倍．在地球上发射一颗卫星，其第一宇宙速度为V₀，则在某星球上发射一颗人造卫星，其发射速度最小是多少．

Answer 1

分析 建立模型：卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的万有引力提供向心力．推广到其他球星．根据此模型，利用比例法求星球上发射人造卫星最小发射速度．

解答 解：设地球质量为M₁，半径为R₁；某星球的质量为M₂，半径为R₂
    由万有引力定律得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{M}}$
地球的第一宇宙速度${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{1}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}}$
星球的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G{M}_{2}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}}$
$\frac{{v}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{2}^{\;}}{{M}_{1}^{\;}}\frac{{R}_{1}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}}=\sqrt{\frac{81}{1}×\frac{1}{9}}=\frac{3}{1}$
解得：${v}_{2}^{\;}=3{v}_{0}^{\;}$
答：发射速度的最小值为$3{v}_{0}^{\;}$

点评 本题是卫星类型问题，关键是要建立物理模型，运用万有引力定律和向心力知识，加上数学变换来求解．