Question

【题目】如图1所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等均为m，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等且动摩擦系数为μ．开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B到OO1轴的距离为2L，物块A到OO1轴的距离为L，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，求：

（1）当B的摩擦力达到最大值的时候，角速度是多少？
（2）当A的摩擦力为0的是时候，角速度是多少？
（3）当AB即将滑动的时候，角速度是多少？
（4）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在图2坐标图中画出A和B的摩擦力随角速度的平方变化的关系图象．
（5）当AB即将滑动时，若把绳剪断，请判断A和B是否还能与杆保持相对静止．

Answer 1

【答案】
（1）

解：开始时，绳子的拉力为零，由于B的转动半径大于A的转动半径，故B需要的向心力大于A（AB两物体质量均为m），故B先达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律可知：

μmg=mω122L，

解得：ω1=

答：当B的摩擦力达到最大值的时候，角速度是

（2）

根据牛顿第二定律，

对A有：T=mω22L

对B有：T+μmg=mω222L

联立解得：ω2=

答：当A的摩擦力为0的是时候，角速度是

（3）

当角速度增大时，AB即将滑动时（B沿半径向外滑动，A沿半径向里滑动），此时A受到的摩擦力为μmg，方向沿半径向外，则对A有：

T′﹣μmg=m L

此时B受到的摩擦力为μmg，方向沿半径向里，对B有：

T′+μmg=m 2L

联立以上两式得：ω3=

T′=3μmg

答：当AB即将滑动的时候，角速度是

（4）

通过以上计算，可知当角速度为 时，B达到了就大静摩擦力，为μmg，方向指向转轴，此时A的摩擦力为 ，方向指向转轴；

当角速度为 时，B的静摩擦力为μmg，方向指向转轴，此时A的摩擦力为0；

当角速度为 时，B的静摩擦力为μmg，方向指向转轴，此时A的摩擦力大小为μmg，方向背向转轴；

A和B的摩擦力随角速度的平方变化的关系图象如下图所示

（5）

由第（3）可知，当AB都将要滑动时，绳子的拉力为T′=3μmg

此时A的向心力为：fA向=T′﹣μmg=2μmg

此时B的向心力为：fB向=T′+μmg=4μmg

若把绳子剪断，杆对AB能产生的最大摩擦力为μmg，所以AB均不能与杆保持静止．

答：当AB即将滑动时，若把绳剪断，A和B均不能与杆保持相对静止

【解析】（1）先分析AB两物体谁先能达到最大静摩擦力，并以此物体为研究对象，进行受力分析，结合牛顿第二定律即可得知此时的角速度（2）对AB分别利用牛顿第二定律列式，联立可得知当A的摩擦力为0的是时候的角速度（3）当AB即将滑动的时候，分别对AB进行受力分析，AB分别利用牛顿第二定律列式，联立可得知此时的角速度（4）结合前三问的解答，可画出A和B的摩擦力随角速度的平方变化的关系图象（5）结合（3）的解答，先计算出此时AB两物体的向心力，当绳子剪断后，结合此时杆对AB能提供的最大静摩擦，可得知A和B是否还能与杆保持相对静止
【考点精析】解答此题的关键在于理解向心力的相关知识，掌握向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力．