题目内容

【题目】将一斜面固定在水平面上,斜面的倾角为θ=30°,其上表面绝缘且斜面的顶端固定一挡板,在斜面上加一垂直斜面向上的匀强磁场,磁场区域的宽度为H=0.4 m,如图甲所示,磁场边界与挡板平行,且上边界到斜面顶端的距离为x=0.55 m。将一通电导线围成的矩形导线框abcd置于斜面的底端,已知导线框的质量为m=0.1 kg、导线框的电阻为R=0.25 Ω、ab的长度为L=0.5 m。从t=0时刻开始在导线框上加一恒定的拉力F,拉力的方向平行于斜面向上,使导线框由静止开始运动,当导线框的下边与磁场的上边界重合时,将恒力F撤走,最终导线框与斜面顶端的挡板发生碰撞,碰后导线框以等大的速度反弹,导线框沿斜面向下运动。已知导线框向上运动的v-t图象如图乙所示,导线框与斜面间的动摩擦因数为μ=,整个运动过程中导线框没有发生转动,且始终没有离开斜面,g=10 m/s2

(1)求在导线框上施加的恒力F以及磁感应强度的大小;

(2)若导线框沿斜面向下运动通过磁场时,其速度v与位移s的关系为v=v0s,其中v0是导线框ab边刚进入磁场时的速度大小,s为导线框ab边进入磁场区域后对磁场上边界的位移大小,求整个过程中导线框中产生的热量Q。

【答案】(1)1.5 N 0.50 T (2)0.45 J

【解析】(1)由v-t图象可知,在0~0.4 s时间内导线框做匀加速直线运动,进入磁场时的速度为v1=2.0 m/s,所以在此过程中的加速度a==5.0 m/s2

由牛顿第二定律有F-mgsin θ-μmgcos θ=ma

解得F=1.5 N

由v-t图象可知,导线框进入磁场区域后以速度v1做匀速直线运动

通过导线框的电流I=

导线框所受安培力F=BIL

对于导线框匀速运动的过程,由力的平衡条件有

F=mgsin θ+μmgcos θ+

解得B=0.50 T。

(2)导线框进入磁场区域后做匀速直线运动,并以速度v1匀速穿出磁场,说明导线框的宽度等于磁场的宽度H

导线框ab边离开磁场后做匀减速直线运动,到达挡板时的位移为x0=x-H=0.15 m

设导线框与挡板碰撞前的速度为v2,由动能定理,有

-mg(x-H)sin θ-μmg(x-H)cos θ=mvmv

解得:v2=1.0 m/s

导线框碰挡板后速度大小仍为v2,且

mgsin θ=μmgcos θ=0.50 N

ab边进入磁场后做减速运动,设导线框全部离开磁场区域时的速度为v3

由v=v0s得v3=v2=-1.0 m/s

因v3<0,说明导线框在离开磁场前速度已经减为零,这时安培力消失,导线框将静止在磁场中某位置

导线框向上运动通过磁场区域的过程中产生的焦耳热

Q1=I2Rt==0.40 J

导线框向下运动进入磁场的过程中产生的焦耳热

Q2mv=0.05 J

所以Q=Q1+Q2=0.45 J。

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