Question

如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：

 

(1)求推力对小球所做的功。

(2)x取何值时，完成上述运动所做的功最少?最小功为多少。

(3)x取何值时，完成上述运动用力最小?最小力为多少。

Answer 1

（1）W_F=mg(16R²+x²)/8R                                         

(2)解得x=2R时， W_F最小，最小的功W_F=mgR

 (3) x=4R时  +=8，最小的力F=mg

解析:

（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v_C,质点从C点运动到A点所用的时间为t，在水平方向     x=v_Ct                    ①  

竖直方向上2R=gt²                                                                                ② 

解①②有   v_C=                                         ③

对质点从A到C由动能定理有W_F-mg·2R=mv                   ④

解W_F=mg(16R²+x²)/8R                                          ⑤

(2)要使F力做功最少，确定x的取值，由W_F=2mgR+mv知，只要质点在C点速度最小，则功W_F就最小，就是物理极值。若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有mg=,则v=                                            ⑥

由③⑥有=,解得x=2R时， W_F最小，最小的功W_F=mgR

 (3)由⑤式W_F=mg()而F=mg()

因＞0，x＞0，由极值不等式有当=时，即x=4R时  +=8，最小的力F=mg