Question

20．在桌面上以30m/s的速度竖直向上抛出一个小球，小球落回桌面时速度大小为10m/s，重力加速度大小为g=10m/s²，设小球在运动过程中受空气阻力的大小与速度大小成正比，则小球在空中运动的时间是（　　）

• A． 2s
• B． 3s
• C． 3.75s
• D． 4s

Answer 1

分析 对于小球上升和下降过程，分别运用牛顿第二定律和加速度的定义式列式，结合积分法求出上升和下降的时间，从而求得总时间．

解答 解：设小球上升和下降的时间分别为t₁和t₂．上升的最大高度为h．
根据牛顿第二定律得：
上升过程有 mg+kv=ma₁=m$\frac{△v}{△t}$
即得 mg△t+kv△t=m△v
两边求和得 mg$\sum_{\;}^{\;}$△t+k$\sum_{\;}^{\;}$v△t=m$\sum_{\;}^{\;}$△v
则得 mgt₁+kh=mv₀．①
同理，对下降过程，有
  mg-kv=ma₂=m$\frac{△v}{△t}$
即得 mg△t-kv△t=m△v
两边求和得 mg$\sum_{\;}^{\;}$△t-$\sum_{\;}^{\;}$v△t=m$\sum_{\;}^{\;}$△v
则得 mgt₂-kh=mv_t．②
由①+②得：t₁+t₂=$\frac{{v}_{0}+{v}_{t}}{g}$=$\frac{30+10}{10}$s=4s
即小球在空中运动的时间是4s．
故选：D

点评 本题中小球做的是非匀变速直线运动，不能根据运动学公式求时间，根据牛顿第二定律和加速度定义式列式是关键．这是常用的积分法，要学会运用．