Question

9．一组宇航员乘坐太空穿梭机S，去修理位于离地球表面h=6.0×10⁵m的圆形轨道上的太空望远镜H．机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭，望远镜则在穿梭机前方数千米处，如图所示．已知地球半径为R=6.4×10⁶m，地球表面重力加速度为g=9.8m/s²，第一宇宙速度为v=7.9km/s．
（1）穿梭机所在轨道上的重力加速度g′为多少？在穿梭 机内，一质量为m=70kg的宇航员受的重力G′是多少？
（2）计算穿梭机在轨道上的速率v′．
（3）穿梭机需先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜，试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，试说明理由．

Answer 1

分析 卫星在原有轨道上加速做离心运动，轨道半径增大，在原有轨道上减速做向心运动，轨道半径减小．
根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=mg′$，以及地球表面上的物体受到的重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，化简得到加速度的表达式，代入数据计算即可

解答 解：（1）由mg=G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得地球表面的重力加速度为g=$\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，
同理穿梭机所在轨道上的向心加速度为g′=$\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$
联立以上二式并代入数据解得：g′=8.2m/s²
（2）由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
可得第一宇宙速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
同理穿梭机在轨道上的速率为：v′=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
代入数据解得：v′=7.6km/s
（3）应减速．由$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{r}$知穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v′减小时，m$\frac{v{′}_{\;}^{2}}{r}$才减小，则$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}＞m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{r}$．
答：（1）穿梭机所在轨道上的向心加速度g′为8.2m/s²；
（2）计算穿梭机在轨道上的速率v′为7.6km/s；
（3）应减速，穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力．

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力和重力等于万有引力，列式求解出加速度的表达式，代入数据进行计算．