题目内容

8．关于物体在斜面上的运动，请回答以下问题．已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力．

（1）如图1所示，一个截面为直角三角形的斜面体C始终静止在粗糙水平面上，物块能在C的斜面上保持静止，则物块与斜面之间的动摩擦因数μ与斜面倾角α应满足什么关系？
（2）如图2所示，两个质量均为m的小方块A和B紧挨着一起沿斜面体C的斜面匀速下滑，C始终静止在粗糙的地面上，A与B的接触面是光滑的．已知A与C之间的动摩擦因数是B与C之间动摩擦因数的2倍，斜面的倾角为α，求B与C之间的动摩擦因数为多少？
②接①问，若将A、B对调位置，再同时由静止释放A、B，发现C依然能保持在地面不动，若C的质量为M，求C与地面之间的动摩擦因数应满足的条件．

分析 （1）物块能在C的斜面上保持静止，物块的重力沿斜面向下的分力不大于最大静摩擦力，由摩擦力公式列式求解．
（2）A、B一起沿斜面体C的斜面匀速下滑，合力均为零，以整体为研究对象，由平衡条件和摩擦力公式结合求解．若将A、B对调位置，对C研究，由平衡条件和摩擦力公式结合解答．

解答 解：（1）物块能在C的斜面上保持静止，则应满足：mgsinα≤μmgcosα
可得 μ≥tanα
（2）设B与C之间的动摩擦因数为μ1，则A与C之间的动摩擦因数是2μ1．
A、B一起沿斜面体C的斜面匀速下滑时，则有：
2mgsinα=μ1mgcosα+2μ1mgcosα
则：μ1=$\frac{2}{3}tanα$
若将A、B对调位置，对A，由于2μ1mgcosα=$\frac{4}{3}$mgsinα＞mgsinα，故A静止在C上．
对B，由于μ1mgcosα=$\frac{2}{3}$mgsinα＜mgsinα，故B在C上下滑．
以C为研究对象，分析受力如图．
A、B对C的压力大小为 N1=N2=mgcosα，A对C的静摩擦力 f1=mgsinα，B对C的滑动摩擦力 f2=μ1mgcosα=$\frac{2}{3}$mgsinα
因为（N1+N2）sinα=2mgcosαsinα，（f1+f2）cosα=$\frac{5}{3}$mgcosαsinα，则C相对于地面有向左运动的趋势，地面对C的摩擦力水平向右，大小为 f=（N1+N2）sinα-（f1+f2）cosα=$\frac{1}{3}$mgcosαsinα
地面与C间的最大静摩擦力 fm=μ[Mg+（N1+N2）cosα+（f1+f2）sinα]
要使C依然能保持在地面不动，必须有 f≤fm，解得：
  μ≥$\frac{mgsinαcosα}{3Mg+6mgco{s}^{2}αsinα+5mgcosαsi{n}^{2}α}$
答：
（1）物块与斜面之间的动摩擦因数μ与斜面倾角α应满足为μ≥tanα；
（2）B与C之间的动摩擦因数为$\frac{2}{3}tanα$；
（3）要使C依然能保持在地面不动，C与地面之间的动摩擦因数应满足的条件是
   μ≥$\frac{mgsinαcosα}{3Mg+6mgco{s}^{2}αsinα+5mgcosαsi{n}^{2}α}$．

点评 解决本题的关键要判断物体的状态，明确物体刚要滑动的条件，并要灵活选取研究对象，结合平衡条件解答．

练习册系列答案
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