Question

17．如图，地球赤道正上空有两颗卫星，其中a为地球同步卫星，轨道半径为r，b为另一颗卫星，轨道半径为同步卫星轨道半径的$\frac{1}{\root{3}{16}}$．从图示时刻开始计时，在一昼夜内，两颗卫星共“相遇”的次数为（所谓相遇，是指两颗卫星距离最近）（　　）

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Answer 1

分析 据万有引力提供向心力，结合两卫星的轨道关系，求出b卫星的周期．根据两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远转过的角度之差等于π求出再次相距最近的时间，即可求解．

解答 解：设地球的质量为M，绕地球运动的卫星的质量为m，轨道半径为R，周期为T，则有
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
则得 T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
可得b、a两卫星的周期之比为 $\frac{{T}_{b}}{{T}_{a}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{b}^{3}}{{R}_{a}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{（\frac{1}{\root{3}{16}}r）^{3}}{{r}^{3}}}$=$\frac{1}{4}$
T_b=$\frac{1}{4}{T}_{a}$
a卫星是地球的同步卫星，其周期等于地球自转的周期．
设当两者相距最近开始到再次相距最近时，最少的时间应该满足下式：$\frac{2π}{{T}_{b}}$t-$\frac{2π}{{T}_{a}}$t=2π
则得 t=$\frac{1}{3}{T}_{a}$
所以从图示时刻开始计时，在一昼夜内，两颗卫星相距最近的次数为 n=$\frac{{T}_{a}}{t}$=3（次）
故选：B．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，知道周期与轨道半径的关系．以及知道两颗卫星从相距最近到再次相距最近所转过的角度之差等于2π．