题目内容

如图所示,ABC是固定在竖直平面内的绝缘圆弧轨道,圆弧半径为R.A点与圆心O等高,B、C点处于竖直直径的两端.PA是一段绝缘的竖直圆管,两者在A点平滑连接,整个装置处于方向水平向右的匀强电场中.一质量为m、电荷量为+q的小球从管内与C点等高处由静止释放,一段时间后小球离开圆管进入圆弧轨道运动.已知匀强电场的电场强度E=
3mg
4q
(g为重力加速度),小球运动过程中的电荷量保持不变,忽略圆管和轨道的摩擦阻力.求:
(1)小球到达B点时速度的大小;
(2)小球到达B点时对圆弧轨道的压力;
(3)小球在圆弧轨道运动过程中速度最大为多少?
(1)小球从P运动到A的过程中,由动能定理得:
解得:
mg2R+EqR=
1
2
m
v2B
-0
vB=
11
2
gR

(2)小球在最低点B时,根据牛顿第二定律得:
FN-mg=m
v2B
R
FN=
13
2
mg

则由牛顿第三定律得:小球对圆弧轨道的压力大小为
13
2
mg

(3)对小球,等效最低点为F点,在F点小球的速度最大,设OF与竖直方向的夹角为θ,在此位置小球所受的电场力与重力的合力方向沿半径向外,则有:
tanθ=
qE
mg
=
3
4

则知:sinθ=0.6,cosθ=0.8
设小球在圆弧轨道运动过程中速度最大为vm,小球从P到F的过程,根据动能定理得:
mgR(1+cosθ)+qER(1+sinθ)=
1
2
m
v2m

解得:vm=
6gR

答:(1)小球到达B点时速度的大小是
11
2
mg

(2)小球到达B点时对圆弧轨道的压力是
13
2
mg

(3)小球在圆弧轨道运动过程中速度最大为
6gR
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