Question

天文工作者观测某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂．
则（1）该行星的平均密度为多大？
（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该人造卫星的轨道半径为多大？

Answer 1

【答案】分析：1、根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力，可以列式求出行星的质量M，进一步求其密度；
2、该行星的同步卫星的周期与该行星的自转周期相同，根据万有引力提供向心力及速度与周期的关系式，以及第一问中求出行星质量M，化简可得该人造卫星的轨道半径．
解答：解：（1）设该行星的质量为M，卫星的质量为m，则对卫星 有：
   ①
又行星的体积为  ②
所以该行星的平均密度为  ③
（2）设该卫星的同步人造卫星的轨道半径为r，有
    ④
所以由①④得，该人造卫星的轨道半径．
答：
（1）该行星的平均密度为
（2）要在此行星的赤道上发射一颗同步人造卫星，使其轨道在赤道上方，则该人造卫星的轨道半径为．
点评：解决本题的关键是根据万有引力提供向心力、同步卫星的条件：同步卫星的周期等于行星的自转周期，即可进行求解．