Question

如图所示，水平绝缘轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R=0.40m．轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E=1.0×10⁴N/C．现有一电荷量q=+1.0×10^-4C，质量m=0.10kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P点由静止释放，带电体运动到圆形轨道最低点B时的速度v_B=5.0m/s．已知带电体与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.50，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）带电体运动到圆形轨道的最低点B时，圆形轨道对带电体支持力的大小；
（2）带电体在水平轨道上的释放点P到B点的距离；
（3）带电体到达C点的速度大小；
（4）带电体第一次经过C点后，落在水平轨道上的位置到B点的距离．

Answer 1

分析：（1）带电体运动经过圆形轨道的最低点B时，由重力和轨道的支持力的合力提供带电体的向心力，由牛顿第二定律求出轨道的支持力；
（2）带电体从P运动到B过程，运用动能定理即可求出PB间的距离；
（3）带电体从B运动到C过程，运用动能定理即可求出带电体到达C点的速度大小；
（4）带电体从B运动到C的过程中，由动能定理求出经过C点时的速度大小．带电体离开C点后，受到重力和电场力作用，运用运动的分解法研究：在竖直方向上做自由落体运动，水平方向做匀减速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合，即可进行求解．

解答：解：（1）设带电体在B点受到的支持力为N，依据牛顿第二定律
    N-mg=m

v 2 B

R

解得：N=m

v 2 B

R

+mg=0.10×（

5．02

0.40

+10）N=7.25N
（2）设PB间的距离为s，带电体从P运动到B过程，依据动能定理得：
   （qE-μmg）s=

1

2

mv

2 B

解得：s=

1 2 m v 2 B

qE-μmg

=

1 2 ×0.1×52

1.0×10-4×1.0×104-0.5×0.1×10

m=2.5m   
（3）设带电体通过C点时的速度为v_C，带电体从B运动到C过程，由动能定理得：
-2mgR=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

解得：v_C=

v 2 B -4gR

=

52-4×10×0.4

m/s=3m/s
（4）带电体离开C点后在竖直方向上做自由落体运动，设在空间运动的时间为t，则
  2R=

1

2

gt2，t=2

R g

=2×

0.4 10

s=0.4s
在水平方向上做匀减速运动，设在水平方向的加速度大小为a，依据牛顿第二定律
  qE=ma
设落在水平轨道上的位置到B点的距离为x，依据运动学公式得：
  x=v_Ct-

1

2

at2=v_Ct-

qE

2m

t²=3×0.4-

1×10-4×104

2×0.1

×0．42=0.40m   
答：
（1）带电体运动到圆形轨道的最低点B时，圆形轨道对带电体支持力的大小为7.25N；
（2）带电体在水平轨道上的释放点P到B点的距离为2.5m；
（3）带电体到达C点的速度大小为3.0m/s；
（4）带电体第一次经过C点后，落在水平轨道上的位置到B点的距离为0.40m．

点评：本题是动能定理与圆周运动的向心力、运动的合成与分解知识的综合，关键是运用分解法研究带电体在复合场中运动的过程．