Question

18．如图所示，质量为m、内壁光滑的半圆形轨道静止在水平地面上，O为其圆心，P为轨道上一点，其中OP与OA的夹角为θ．将一质量为m的小物块由图中的A点处静止释放．求：
（1）当小物块运动到容器的P点时，小物块对半圆形轨道的压力；
（2）小物块下滑过程中，θ为何值时，地面对半圆形轨道的摩擦力最大．

Answer 1

分析 （1）从A到P的过程中，根据动能定理列式，在P点，指向圆心的合力提供向心力，根据向心力公式列式，联立方程求出半圆形轨道对物体的支持力，半圆形轨道处于静止状态，受力平衡，对半圆形轨道受力分析，根据平衡条件求解摩擦力；
（2）根据共点力平衡求得摩擦力的摩擦力的表达式，利用数学知识求得最大值的条件

解答 解：（1）从A到P得过程中，根据动能定理得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgRsinθ$
在P点，指向圆心的合力提供向心力，则有${F}_{N}-mgsinθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得F_N=3mgsinθ
根据牛顿第三定律可知小物体对半圆轨道的压力F′_N=3mgsinθ
（2）半圆形轨道处于静止状态，受力平衡，对半圆形轨道受力分析，根据平衡条件得
地面对半圆形轨道的摩擦力f=$3mgsinθcosθ=\frac{3}{2}mgsin2θ$
当2θ=90°时，即θ=45°时，摩擦力最大
答：（1）当小物块运动到容器的P点时，小物块对半圆形轨道的压力为3mgsinθ；
（2）小物块下滑过程中，θ为45°时，地面对半圆形轨道的摩擦力最大．

点评 本题主要考查了动能定理、向心力公式以及共点力平衡条件的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况，并能结合数学知识求解极值，难度适中．