题目内容
如图所示，一内壁光滑的环形细圆管固定在水平桌面上，环内间距相等的三位置处，分别有静止的大小相同的小球A、B、C，质量分别为m1=m，m2=m3=1.5m，它们的直径略小于管的直径，小球球心到圆环中心的距离为R，现让A以初速度v0沿管顺时针运动，设各球之间的碰撞时间极短，A和B相碰没有机械能损失，B与C相碰后能结合在一起，称为D．求：（1）A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间．
分析：（1）A和B相碰时没有机械能损失，遵守动量守恒和机械能两大守恒，分别列出两大守恒定律的方程，求出A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）根据动量守恒定律求出B和C相碰结合在一起的速度．碰撞后管对结合体的水平方向的弹力提供向心力，根据牛顿运动定律求出B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小；
（3）小球碰撞前后都在圆管中做匀速圆周运动，根据弧长与速度的比值，求出A、B碰后，B与C相碰所经历的时间．
从A和B第一次相碰后，到D与A相碰，AD所通过的总弧长为
，两者路程之和等于总弧长，列式求解A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间．
（2）根据动量守恒定律求出B和C相碰结合在一起的速度．碰撞后管对结合体的水平方向的弹力提供向心力，根据牛顿运动定律求出B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小；
（3）小球碰撞前后都在圆管中做匀速圆周运动，根据弧长与速度的比值，求出A、B碰后，B与C相碰所经历的时间．
从A和B第一次相碰后，到D与A相碰，AD所通过的总弧长为
| 4πR |
| 3 |
解答：解：（1）设A、B碰撞后速度分别为v1、v2，根据动量守恒和机械能两守恒得：
mv0=mv1+1.5mv2
m
=
m
+
?1.5m
联立解得：
v1=-
v0（负号表示A球逆时针返回），v2=
v0
（2）由上面解答可知，BC首先要碰撞，设B和C相碰结合在一起后速度为v3，则由动量守恒有：
1.5mv2=3mv3
得：v3=
v2=
v0
设管对球沿水平方向的压力N，此力提供D球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：
N=3m?
=
，
由牛顿第三定律得知，B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小：
N′=N=
；
（3）A、B碰后，B经时间t1与C相碰，再经时间t2，D与A相碰
t1=
=
从A和B第一次相碰后，到D与A相碰：
v3t2+|v1|?(t1+t2)=
得：t2=
∴A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间t为：
t=t1+t2=
答：
（1）A和B第一次相碰后各自的速度大小分别为
v0和
v0；
（2）B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小为
；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间为
．
mv0=mv1+1.5mv2
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 1 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 2 |
联立解得：
v1=-
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）由上面解答可知，BC首先要碰撞，设B和C相碰结合在一起后速度为v3，则由动量守恒有：
1.5mv2=3mv3
得：v3=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
设管对球沿水平方向的压力N，此力提供D球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：
N=3m?
| ||
| R |
12m
| ||
| 25R |
由牛顿第三定律得知，B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小：
N′=N=
12m
| ||
| 25R |
（3）A、B碰后，B经时间t1与C相碰，再经时间t2，D与A相碰
t1=
| 2πR |
| 3v2 |
| 5πR |
| 6v0 |
从A和B第一次相碰后，到D与A相碰：
v3t2+|v1|?(t1+t2)=
| 4πR |
| 3 |
得：t2=
| 35πR |
| 18v0 |
∴A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间t为：
t=t1+t2=
| 25πR |
| 9v0 |
答：
（1）A和B第一次相碰后各自的速度大小分别为
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小为
12m
| ||
| 25R |
（3）A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间为
| 25πR |
| 9v0 |
点评：本题中AB发生的是弹性碰撞，没有机械能损失，遵守运量守恒和动能守恒．此题中还涉及相遇问题，根据位移关系研究时间，是常用的方法．
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