Question

20．如图所示，一个竖直放置的半径为R的光滑绝缘环，置于水平方向的匀强电场中．有一质量为m、电荷量为q的带正电的空心小球套在环上，已知电场强度为E=$\frac{4mg}{3q}$．求：
（1）当小球由静止开始从环的顶端A下滑$\frac{1}{4}$圆弧长到达位置B时，环对小球的压力？
（2）小球从环的顶端A滑至底端C的过程中，最大速度为多少？

Answer 1

分析 小球做圆周运动，先由动能定理求出小球到达B点时的速度大小，然后由牛顿第二定律列方程，求出小球受到的弹力，再由牛顿第三定律求出小球对环的压力．
在小球下滑到最低点C的过程中，当合力与速度垂直时，速度最大，由电场力与重力的关系，确定位置，再根据动能定理求解．

解答 解：（1）小球由静止开始从环的顶端A下滑到位置B过程中mgR+EqR=$\frac{1}{2}$mv_B²
小球在位置B时，设支持力方向向左，得：N-Eq=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入E=$\frac{4mg}{3q}$得  
解得：N=6mg 故方向水平向左
有牛顿第三定律可得：环对小球的压力大小为6mg，方向水平向右；
（2）由于小球所受的电场力与重力都是恒力，它们的合力也是恒力，此力方向与水平成37⁰，大小为F=$\sqrt{（Eq）^{2}+（mg）^{2}}=\frac{5mg}{3}$，小球从A处下滑时，电场力与重力的合力先与速度成锐角，作正功，动能增大，速度增大，后与速度成钝角，作负功，动能减小，速度减小，所以当合力与速度垂直时速度最大，由于qE=mg，所以速度最大的位置位于BC圆弧的中点，设为D点，则从A到D过程，
根据动能定理得：
  F（R+Rsin37°）=$\frac{1}{2}$mv_m²
解得：v_m=$\frac{4\sqrt{3gR}}{3}$；
答：（1）环对小球的压力为6mg，方向水平向右；
（2）小球从环的顶端A滑至底端C的过程中，最大速度为$\frac{4\sqrt{3gR}}{3}$；

点评 对于圆周运动，由动能定理和牛顿第二定律研究是常见的题型，关键要分析出速度最大的位置，可与单摆类比，D点相当于单摆的最低点，常常称为物理量最低点，其特点是合力指向圆心．