题目内容

14．如图所示，质量为m的小物块甲轻放在以v传=5m/s向右匀速运动的传送带的左端A位置，当物块运动到传送带右端B位置后从C点沿圆弧切线进入半径R=0.2m的竖直光滑半圆形轨道，到达轨道最低点D后滑上水平光滑轨道，并与静止在水平面上质量为km的小物块乙发生弹性碰撞．现测得物块甲刚滑到轨道最低点D时对水平轨道的压力N=13.5mg．物块甲与传动带间的动摩擦因数μ=0.4（g取10m/s2），求：
（1）小物块甲沿半圆轨道运动到D点时的速度的大小；
（2）传送带AB两位置间的长度；
（3）满足甲、乙两物块只发生一次碰撞且甲、乙运动时不会离开轨道的k的取值范围．

分析 （1）在D点，根据向心力公式求解D点速度；
（2）从C到D的过程中，对甲应用动能定理求出C点速度，再从A到B的过程中，根据动能定理求出AB之间的长度；
（3）甲和乙发生弹性碰撞，碰撞过程中，动量和机械能都守恒，若碰撞后甲乙都向左运动，则满足题设条件，
若碰撞后甲方向反向，则要使甲不脱离轨道则须满足甲到达与圆心等高处之前速度为零，根据动量守恒和机械能守恒以及动能定理列式求解k的范围．

解答 解：（1）在D点，根据向心力公式得：
N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{12.5×10×0.2}=5m/s$
（2）从C到D的过程中，对甲应用动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mg•2R$
解得：${v}_{C}=\sqrt{17}m/s＜5m/s$，则甲从A端一直匀加速运动到B端，从A到B的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0=μm{gx}_{AB}$
解得：xAB=2.125m
（3）甲和乙发生弹性碰撞，碰撞过程中，动量和机械能都守恒，若乙的质量较小，则甲乙碰撞后速度都沿甲的速度方向，且乙的速度大于甲的速度，满足条件，
当乙的质量较大时，碰撞后甲的速度反向，甲反向后，要使甲不脱离轨道则须满足甲到达与圆心等高处之前速度为零，设向左为正，碰撞过程中，根据动量守恒得：
mvD=kmv乙-mv1
根据机械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{1}{2}km{{v}_{乙}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\frac{5（k-1）}{1+k}$，${v}_{乙}=\frac{10}{1+k}$
对甲则有$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}≤mgR$，且v1≤v乙
解得：$1≤k≤\frac{7}{3}$
答：（1）小物块甲沿半圆轨道运动到D点时的速度的大小为5m/s；
（2）传送带AB两位置间的长度为2.125m；
（3）满足甲、乙两物块只发生一次碰撞且甲、乙运动时不会离开轨道的k的取值范围为$1≤k≤\frac{7}{3}$．

点评 本题考查了向心力公式、机械能守恒定律和动量守恒定律，知道弹性碰撞过程中，动量和机械能都守恒，清楚要是甲乙都不脱离轨道的条件，涉及的知识点较多，对学生的能力要求较强，难度较大．

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