Question

15．如图，两光滑平行金属导轨置于水平面（纸面）内，轨间距为l，左端连有阻值为R的电阻．一金属杆置于导轨上，金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场区域．已知金属杆以速度v₀向右进入磁场区域，做匀变速直线运动，到达磁场区域右边界（图中虚线位置）时速度恰好为零．金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好．除左端所连电阻外，其他电阻忽略不计．求金属杆运动到磁场区域正中间时所受安培力的大小及此时电流的功率．

Answer 1

分析 依据法拉第电磁感应定律，求解感应电动势，再结合闭合电路欧姆定律，及安培力表达式，再依据运动学公式，求得中间位置的速度，从而确定安培力大小，最后根据功率表达式，即可求解．

解答 解：由题意可知，开始时导体棒产生的感应电动势为：E=Blv₀，
依据闭合电路欧姆定律，则电路中电流为：I=$\frac{Bl{v}_{0}}{R}$，
再由安培力公式有：F=BIl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{R}$；
设导体棒的质量为m，则导体棒在整个过程中的加速度为：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{Rm}$
设导体棒由开始到停止的位移为x，由运动学公式：0-${v}_{0}^{2}=-2ax$
解得：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{Rm{v}_{0}}{2{B}^{2}{l}^{2}}$；
故正中间离开始的位移为：x_中=$\frac{Rm{v}_{0}}{4{B}^{2}{l}^{2}}$；
设导体棒在中间的位置时的速度为v，由运动学公式有：v²-v₀²=2ax_中
解得：v=$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
则导体棒运动到中间位置时，所受到的安培力为：
F=BIl=$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{2R}$；
导体棒电流的功率为：
P=I²R=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}^{2}}{2R}$；
答：金属杆运动到磁场区域正中间时所受安培力的大小$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}}{2R}$，及此时电流的功率$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{0}^{2}}{2R}$．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的内容，掌握安培力的表达式，理解运动学公式的应用，注意电功率的内容．