Question

17．如图所示，在x轴上方存在着垂直于xoy平面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m，电荷量为e的电子从x轴上的A点以速度v垂直磁场射入，射入方向与x轴正方向成1500角，已知电子在磁场中运动的轨迹与y轴只有一个交点，下列说法正确的是（　　）

• A． A点的横坐标为$\frac{mv}{2eB}$
• B． 电子在磁场中运动的时间为$\frac{5πm}{3eB}$
• C． 电子在磁场中运动时与x轴的最大距离为$\frac{3mv}{2eB}$
• D． 若电子从A点以速度2v仍沿原方向射入磁场，则电子运动轨迹与y轴两个交点间的距离为$\frac{\sqrt{7}mv}{eB}$

Answer 1

分析 由于电子与y轴只有一个交点，则轨迹与y轴相切，画出其运动轨迹，由洛仑兹力提供向心力求出半径．由题设条件和几何关系能求出电子偏转角及A点坐标．至于当速度变为原来的2倍时，半径相应地变为原来的2倍，由几何关系就能求出轨迹与y轴两交点的距离．

解答 解：画出电子的运动轨迹，与y轴相切于B点．由洛仑兹力提供向心力：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，从而得到：r=$\frac{mv}{eB}$，电子做匀速圆周运动的周期T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{eB}$
A、求得半径为r=$\frac{mv}{eB}$后，由几何关系知道A点的坐标为x_A=r-rcos60°=$\frac{1}{2}r$=$\frac{mv}{2eB}$，故A正确．
B、由几何关系可以求出电子在磁场中偏转角为360°-2×30°=300°，所以电子在磁场中运动时间为t=$\frac{300°}{360°}T$=$\frac{5πm}{3eB}$，故B正确．
C、电子在磁场中运动时与x 轴的最大距离为r+rsin60°=$\frac{（2+\sqrt{3}）mv}{2eB}$，故项C错误．
D、速度加倍，则半径加倍，由几何关系求得与y轴两交点间的距离为2$\sqrt{（2r）^{2}-（\frac{1}{2}r+2rcos60°）^{2}}$=$\sqrt{7}r=\frac{\sqrt{7}mv}{eB}$，故D正确．
故选：ABD

点评 本题涉及的两种情况应用到几何知识较多：①与y轴相切的情况，半径为r=$\frac{mv}{eB}$，从而能求出A点的坐标为$\frac{1}{2}r$．②与y轴相交的情况，当速度变为原来的2倍时，半径变为2r，由三角函数和勾股定理从而求出电子运动轨迹与y轴的两交点距离．