Question

12．某星球A半径为R，自转周期为T，同步卫星运行在距其表面高为h的轨道上，万有引力常数为G．
（1）求星球A的质量；
（2）若另一星球B的半径是星球A的两倍，密度与A相同，求星球B的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）同步卫星运行时，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解星球A的质量．
（2）星球B的第一宇宙速度是卫星绕星球B表面运行时的速度，根据万有引力等于向心力求解．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力，得：
G$\frac{{M}_{A}m}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得星球A的质量为：
M_A=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根据题意，星球B与A的密度相同有：
$\frac{{M}_{A}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{{M}_{B}}{\frac{4}{3}π{R}_{B}^{3}}$
半径关系为：R_B=2R
设星球B的第一宇宙速度为v．则有：
G$\frac{{M}_{B}m}{{R}_{B}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{B}}$
联立解得：v=$\frac{2π（R+h）}{T}$$\sqrt{\frac{R+h}{R}}$
答：（1）星球A的质量是$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）星球B的第一宇宙速度为$\frac{2π（R+h）}{T}$$\sqrt{\frac{R+h}{R}}$．

点评 解答此题的关键是要知道同步卫星的向心力由万有引力提供，要注意卫星的轨道半径与高度是不同的，不能搞混．