Question

（2013?普陀区二模）在“利用单摆测重力加速度”的实验中：
（1）已知单摆小球的质量为m，摆长为l，某地重力加速度为g，当单摆做摆角不超过5°的振动时，通过证明可以得到回复力F=-kx，其中k=

mg

l

．
（2）某同学尝试用DIS测量周期．如图甲所示，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方．使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点．若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为

2t

N-1

（地磁场和磁传感器的影响可忽略）．
（3）经理论推导可知，单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），式中T₀为当摆角θ趋近于0°时的周期．为了用图象法验证该关系式，若某同学在实验中得到了如图乙所示的图线，则图线的斜率为

4

T0

，纵轴截距为

-4

．

Answer 1

分析：（1）摆动时，摆球受重力与绳子的拉力，重力的切向分量提供回复力，其大小为mgsinθ，当角度很小时，F=-mg

x

l

，故k=

mg

l

；
（2）单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点（或平衡位置）．若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆的周期为：T=

2t

N-1

（3）根据T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），得到sin²

θ

2

=

4

T0

?T-4，故图象是sin²

θ

2

-T图象．

解答：解：（1）摆动时，重力的切向分量提供回复力，其大小为mgsinθ；
当角度θ很小时，有θ=

x

l

；
∴F=-mgsinθ=-mg

x

l

，故k=

mg

l

；
（2）单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点（或平衡位置）．若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，是

N-1

2

个周期，则单摆的周期为：T=

2t

N-1

（3）根据T=T₀（1+

1

4

sin²

θ

2

），得到sin²

θ

2

=

4

T0

?T-4，故乙图是sin²

θ

2

-T图象，斜率为

4

T0

，纵轴截距为-4；
故答案为：
（1）

mg

l

；
（2）

2t

N-1

；
（3）

4

T0

，-4．

点评：本题第三问关键根据表示对分析出sin²

θ

2

与T是线性关系，然后根据截距情况得到是sin²

θ

2

-T图象，而不是T-sin²

θ

2

图象，较难．