Question

13．如图所示，BCPD是由半径为R的圆轨道与半径为2R的圆弧轨道BC、CD相切与C点构成的竖直螺旋轨道，其中，P为轨道的最高点，C为最低点，BP与竖直方向的夹角为37°，轨道光滑，质量为m的小球1以一定的初速度由B点沿轨道运动，运动到C点时，与静止在C点的相同小球2发生弹性碰撞，已知两小球距可看作质点，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）要使小球2能通过轨道最高点P，小球1的初速度应满足什么条件？
（2）若小球2恰好能做圆周运动，则小球1到达C点碰撞前与小球2做圆周运动到C点时，对轨道的压力之差是多少？（结果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）要使小球2刚好能通过轨道最高点P点，在P点，刚好由重力提供向心力，据此列式求出小球1通过P点的最小速度，再对小球从C到P的过程，由动能定理求出小球2在C点的速度．再研究两球碰撞的过程，由动量守恒定律和机械能守恒定律得到碰撞前小球1的速度．根据动能定理求得小球1的初速度最小值，从而得到小球1初速度的范围．
（2）分别对两球在两个轨道上，根据向心力公式求出支持力，再求出压力差即可．

解答 解：（1）要使小球2通过P点，则小球2经过P点时F_N≥0，有：
$mg+{F_N}≥m\frac{v_P^2}{R}$
解得：${v_p}≥\sqrt{gR}$
小球2由C运动到P，由动能定理得：$2mgR=\frac{1}{2}mv_c^2-\frac{1}{2}mv_P^2$
解得：${v_c}=\sqrt{5gR}$
两球碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律可知：mv=mv_c+mv′，
由机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv_c²+$\frac{1}{2}$mv′²
联立解得，碰撞前小球1的速度为：v=v_c
所以有：$v≥\sqrt{5gR}$
小球1由B点运动到C点的过程中，由动能定理可得：
$mg×2R（1-cos{37°}）=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：${v_0}≥\frac{{\sqrt{105gR}}}{5}$
（2）小球1到达C点碰撞前相当于在圆周上过最低点，由B点到C点，有：
${N_1}-mg=m\frac{{v_{\;}^2}}{2R}$
小球2做圆周运动，由C点到D点，有：
${N_2}-mg=m\frac{v_C^2}{R}$
联立解得两小球在经过C点时轨道对两球的支持力之差为：
$△N={N_2}-{N_1}=m\frac{v_C^2}{2R}=\frac{5}{2}mg$
根据牛顿第三定律可知，两球对轨道的压力之差为$\frac{5}{2}$mg．
答：（1）要使小球2能通过轨道最高点P，小球2的初速度应满足的条件是：${v_0}≥\frac{{\sqrt{105gR}}}{5}$．
（2）小球1到达C点碰撞前与小球2做圆周运动到C点时，对轨道的压力之差为$\frac{5}{2}$mg．

点评 本题是复杂的力学问题，对于圆周运动，分析向心力的来源是关键，知道小球恰好经过最高点的条件，要具有解决综合问题的能力，需要加强这方面的练习．