题目内容
4．
如图，两根长均为2L的圆柱形绝缘细管，用很短的一段内壁光滑的弯道平滑连接成管道ABC．管道固定于竖直平面内，其中AC沿水平方向．∠BAC=∠BCA=θ．一柔软均质绝缘细绳置于管道AB内，细绳的右端刚好绕过细管B处连接一小球（直径略小于管道内径），系统处于静止状态．已知绳和小球的质量均为m、与细管的动摩擦因数均为μ=$\frac{1}{2}$tanθ；细绳长L，小球带电量为+q，整个系统置于竖直向下、场强E=$\frac{mg}{q}$的匀强电场中，重力加速度为g．现对小球施加一沿BC管道向下的拉力．（1）当小球滑动$\frac{L}{4}$时，拉力大小为F．此时小球的加速度大小a；
（2）求小球从开始运动到下滑$\frac{L}{4}$过程，系统改变的势能△E；
（3）拉力至少需对小球做多少功，才能使整条细绳离开管口C？
分析 （1）以BC管道上的细绳与小球为整体，分析其受力：重力、电场力、拉力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律列式．再对AB管道上的细绳，由牛顿第二定律列式，即可求加速度．
（2）系统的势能包括重力势能和弹性势能．根据重力做功和电场力做功求解．
（3）当小球沿BC管道运动到离B点x=$\frac{L}{4}$时，若撤去拉力，此时a=0，此后小球与细绳将沿BC管道加速下滑，最终离开管道．对细绳和球系统运用功能关系求解．
解答 解：（1）以BC管道上的细绳与小球为整体，设B处细绳间的相互作用力大小为T，由牛顿第二定律得：
F+（$\frac{5}{4}$mg+qE）sinθ-μN-T=$\frac{5}{4}$ma ①
N=（qE+$\frac{5}{4}$mg）cosθ ②
对AB管道上的细绳，由牛顿第二定律得：
T-$\frac{3}{4}$mgsinθ-μ$\frac{3}{4}$mgcosθ=$\frac{3}{4}$ma ③
由①②③式得：a=$\frac{F}{2m}$ ④
（2）系统改变的势能
△E=△E重+△E电 ⑤
系统改变的重力势能
△E重=-mg$\frac{L}{4}$sinθ+$\frac{1}{4}$mg$\frac{3L}{4}$sinθ ⑥
系统改变的电势能
△E电=-qE$\frac{L}{4}$sinθ ⑦
由⑤⑥⑦式得：△E=-$\frac{5}{16}mgLsinθ$ ⑧
（3）由（1）问可知，当小球沿BC管道运动到离B点x=$\frac{L}{4}$时，若撤去拉力，此时a=0，此后小球与细绳将沿BC管道加速下滑，最终离开管道．
因此，要使拉力做功最小，小球至少要到达x=$\frac{L}{4}$位置，且v=0 ⑨
从开始到x=$\frac{L}{4}$过程中，由功能关系得：WF=△EK+Q+△E′（10）
其中△EK=0 （11）
则得Q=μ（qE+mg）cosθ•x+μmgcosθ•x （12）
由（2）问可知，x=$\frac{L}{4}$时，△E′=△E （13）
由⑨（10）（11）（12）（13）式得 WF=$\frac{1}{16}$mgLsinθ （14）
答：
（1）当小球滑动$\frac{L}{4}$时，拉力大小为F，此时小球的加速度大小a为$\frac{F}{2m}$；
（2）小球从开始运动到下滑$\frac{L}{4}$过程，系统改变的势能△E为-$\frac{5}{16}mgLsinθ$；
（3）拉力至少需对小球做$\frac{1}{16}$mgLsinθ的功，才能使整条细绳离开管口C．
点评 对于连接体，求加速度常用有两种方法：整体法和隔离法，要抓住加速度大小相等的特点灵活选择解法．本题还要正确分析功与能的关系，知道重力做功多少，重力势能减少多少，电场力做功与电势能变化的关系与此相似．
期末1卷素质教育评估卷系列答案
如图为一种节能系统：斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．木箱在轨道顶端时，自动装货装置将货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速下滑，轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，之后木箱恰好被弹回到轨道顶端．上述过程中货物的质量m=6M；向下运动过程中速度最大时弹簧的弹性势能大于（填“大于”、“等于”、或“小于”）向上滑动过程中速度达到最大时弹簧的弹性势能．| A． | $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}（r-{r}_{0}）^{2}}{4{π}^{2}{r}^{3}}$ | B． | $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}（r-{r}_{0}）^{2}}{8{π}^{2}{r}^{3}}$ | ||
| C． | $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}{r}^{3}}$ | D． | $\frac{{{v}_{0}}^{2}{T}^{2}{{r}_{0}}^{2}}{8{π}^{2}{r}^{3}}$ |
如图所示，一有界匀强磁场的宽度为2L，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．正方形闭合线框abcd各边电阻相同，边长为L，在线框以速度v匀速穿过磁场区域的过程中，以下图象中能表示a、b两点电势差Uab随时间t变化的是（ ）
如图所示，活塞将一定质量的气体封闭在直立圆筒形导热的气缸中，活塞上堆放细砂，活塞处于静止，现对气体缓慢加热，同时逐渐取走细砂，使活塞缓慢上升，直到细砂全部取走，若活塞与气缸之间的摩擦可忽略，则在此过程中（ ）| A． | 气体压强可能增大，内能可能不变 | B． | 气体从外界吸热，内能一定增加 | ||
| C． | 气体对外做功，内能一定减小 | D． | 气体对外做功，气体温度可能不变 |
如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1h，则下列说法正确的是（ ）| A． | 该卫星与同步卫星的运行半径之比为1：4 | |
| B． | 该卫星与同步卫星的运行速度之比为1：2 | |
| C． | 该卫星的运行速度一定大于7.9km/s | |
| D． | 该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 |