Question

【题目】如图，倾角θ＝370的直轨道AC与光滑圆弧轨道CDEF在C处平滑连接，整个装置固定在同一竖直平面内。圆弧轨道的半径为R，DF是竖直直径，以O为圆心，E、O、B三点在同一水平线上，A、F也在同一水平线上。两个小滑块P、Q（都可视为质点）的质量都为m。已知滑块Q与轨道AC间存在摩擦力且动摩擦因数处处相等，而滑块P与直轨道AC的摩擦不计。开始时滑块Q静止于B处，之后让P由静止从A处释放，在B点与Q相碰，碰后P、Q立刻一起向下且在BC段保持匀速运动。已知P、Q每次相碰都会立刻合在一起运动但两者并不粘连，sin370＝0.6，cos370＝0.8，取重力加速度为g，求：

（1）两滑块进入圆弧轨道运动过程中对圆弧轨道的压力的最大值。

（2）滑块Q在轨道AC往复运动经过的最大路程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 滑块P下滑至碰前，由机械能守恒定律得

P、Q碰后一起运动，由动量守恒定律得

mv1=2mv2

P、Q一起运动至D点过程，有

经过D点时对圆弧轨道的压力最大，有

ND-2mg=2m

由牛顿第三定律可知，两滑块对圆弧轨道最大压力

ND′= ND

解得：

ND′=3.8mg

(2) 由以上计算可知，P、Q整体在D点的动能

因此它们在圆弧轨道上运动的最高点在E点下方，之后沿轨道返回，再次到达C点的速度大小仍为v2．从C点上滑后P、Q分离，Q比P先到达最高点，且Q运动到最高点时停下。设P、Q上滑的最大位移分别为xP、xQ．对P、Q，由动能定理分别可得

mgsinθxp=

（mgsinθ+f）xQ=

由前面P、Q一起匀速下滑可知Q所受的滑动摩擦力

f=2mgsinθ

P再次从最高点下滑至第二次碰Q前，有

mgsinθ（xP-xQ）=

P、Q碰后一起运动，有

mv3=2mv4

在P、Q第二次进入直轨道AC运动全过程，Q克服摩擦力做的功

Wf=f2xQ

而P、Q碰撞损失的机械能为

由以上各式可以解得Q克服摩擦力做的功与P、Q碰撞损失的机械能之比

P、Q此后多次进入直轨道AC运动过程，遵循同样的规律，直到最后到达C点的速度减为0，因此从P、Q第二次进入直轨道AC运动到最后不再进入为止，Q克服摩擦力做的功为

滑块Q在轨道AC上往复运动经过的最大路程

lm=l+

由以上各式解得

lm=