Question

1．如图所示，在O点悬有一细绳，细绳穿过小球B的通过直径的小孔，使B球能顺着绳子滑下来．在O点正下方有一半径为R=1m的光滑弧形轨道，圆心位置恰好在O点，弧形轨道的最低点为O′，在接近O′处有另一小球A，令A、B两球同时开始无初速释放．（取π²=10，g=10m/s²）求：
①若细线光滑，试计算B小球和A小球第一次到O′时间？
②若要A球第一次到达平衡位置时正好能够和B球相碰，则B球与绳之间的摩擦力与B球重力大小之比是多少？

Answer 1

分析 （1）A做单摆运动，B做自由落体运动，由此可求到O′时间．
（2）由AB相碰必须满足运动时间相等，结合第一问对AB运动时间的求解可得B球与绳之间的摩擦力与B球重力大小之比．

解答 解：
①A做单摆运动，到O′时间为$\frac{1}{4}T$，由单摆周期公式可得：
${t}_{a}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×2π\sqrt{\frac{R}{g}}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$=0.5s；
B做自由落体运动：
$2R=\frac{1}{2}g{{t}_{b}}^{2}$，
解得：
${t}_{b}=\sqrt{\frac{2R}{g}}=\frac{\sqrt{5}}{5}s$．
②若要A球第一次到达平衡位置时正好能够和B球相碰，则B球与绳之间必由摩擦力，由此可得：
$t=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}=\sqrt{\frac{2R}{a}}$；
解得：
$a=\frac{8g}{{π}^{2}}=\frac{8×10}{10}=8m/{s}^{2}$．
对小球B，由牛顿第二定律：
mg-f=ma；
解得：
$\frac{f}{mg}=\frac{1}{5}$．
答：①若细线光滑，B小球和A小球第一次到O′时间分别为：$\frac{\sqrt{5}}{5}s$和0.5s
②若要A球第一次到达平衡位置时正好能够和B球相碰，则B球与绳之间的摩擦力与B球重力大小之比是1：5．

点评 该题重点是能够分清AB两球的运动性质，依据各自的运动性质来求解时间；其次要知道相遇问题必须要满足运动时间相等．