Question

12．一平直的传送带以速度v=2m/s匀速运行，物体与传送带动摩擦因数为0.2，在传送带最左端A处把物体轻轻地放到传送带上，A、B相距L=10m．求：
（1）物体在传送带上从A处传送到最右端B处时间是多少？
（2）如果皮带匀速的速度V可以取不同值，求物体从A到B的时间t随传送带匀速速度V的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）物体在传送带上先做匀加速直线运动，达到传送带速度后一起做匀速直线运动，结合运动学公式求出物体在传送带上匀加速运动的时间．
（2）先求出若物体一直匀加速运动到B端的速度，分传送带大于此速度后小于此速度两种情况，根据运动学基本公式求解．

解答 解：（1）A放在传送带上，先在摩擦力作用下做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得：
a=$\frac{μmg}{m}=2m/{s}^{2}$，
速度增加到与传送带速度相等需要的时间为：
${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{2}{2}=1s$，
速度增加到与传送带速度相等时运动的位移为：
x=$\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{4}{4}=1m$，
此后物体随传送带一起做匀速直线运动，时间为：
${t}_{2}=\frac{L-x}{v}=\frac{10-9}{2}=4.5s$，
则物体在传送带上从A处传送到最右端B处时间为：
t=t₁+t₂=1+4.5=5.5s
（2）若A一直做匀加速到达B端，则到达B点的速度为：
v=$\sqrt{2aL}=\sqrt{2×2×10}=2\sqrt{10}m/s$，
运动的时间为：$t=\frac{v}{a}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}s$，
若传送带的速度$v≥2\sqrt{10}m/s$，则物体一直匀加速运动到B端，时间t=$\sqrt{10}s$，
若传送带的速度$v＜2\sqrt{10}m/s$，则物体先做匀加速直线运动，速度与传送带速度相等后做匀速直线运动，
匀加速的时间为：${t}_{1}=\frac{v}{a}$=$\frac{v}{2}$，
匀加速运动的位移为：$x=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{{v}^{2}}{4}$，
匀速运动的时间为：${t}_{2}=\frac{L-\frac{{v}^{2}}{4}}{v}=\frac{L}{v}-\frac{v}{4}=\frac{10}{v}-\frac{v}{4}$，
则总时间为：t=${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{v}{4}+\frac{10}{v}$
答：（1）物体在传送带上从A处传送到最右端B处时间是5.5s；
（2）若传送带的速度$v≥2\sqrt{10}m/s$，物体从A到B的时间t=$\sqrt{10}s$，若传送带的速度$v＜2\sqrt{10}m/s$，物体从A到B的时间t=$\frac{v}{4}+\frac{10}{v}$．

点评 解决本题的关键理清物体在传送带上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，注意要分情况讨论分析，难度适中．