题目内容

17．如图所示，一轻弹簧直立地面上，其劲度系数为400N/m，弹簧上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上下表面恰与盒子接触，A和B的质量mA=mB=1.0kg，g=10m/s2，不计空气阻力．先将A向上抬高使弹簧伸长5.0cm后，从静止释放，释放后A和B一起做简谐运动．试求：
（1）A的振幅A0；
（2）B的最大速率vm；
（3）盒子振动到最高点和最低点时刻A对B的作用力大小F1、F2．

分析 （1）简谐运动的振幅A是振动物体离开平衡位置的最大距离，根据此定义，可先求出振子在平衡位置时，弹簧的压缩量，即可求解A．
（2）振子到达平衡位置时B的速率最大，从开始到平衡位置，运用机械能守恒定律列式，可求出B的最大速率．
（3）先由整体法求出加速度，再隔离B，运用牛顿第二定律求解．

解答 解：（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩△x．则（mA+mB）g=k△x，
代入数据解得△x=0.05m=5cm
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A为：A=5cm+5cm=10cm．
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为v，从开始到平衡位置处，根据机械能守恒定律：
  （mA+mB）•A=$\frac{1}{2}$（mA+mB）vm2
则得 vm=$\sqrt{2gA}$=$\sqrt{2×10×0.1}$=$\sqrt{2}$m/s，即B的最大速率为$\sqrt{2}$m/s       
（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律：
对AB整体，有a=$\frac{k△x+（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{A}+{m}_{B}}$=20m/s2；
对B，由牛顿第二定律得：N1+mBg=mBa
则A对B的作用力方向向下，其作用力大小为：N1=mBa-mBg=10N
在最低点，根据对称性知，加速度大小为a=20m/s2；方向向上．
对B，由牛顿第二定律得：N2-mBg=mBa
则A对B的作用力方向向上，其大小N2为：N2=mBa+mBg=30N
答：
（1）物体A的振幅是10cm．
（2）物体B的最大速率是1.4m/s．
（3）在最高点A对B的作用力方向向下，其大小为10N，在最低点A对B的作用力方向向上，其大小为30N．

点评 本题要紧扣振幅的定义，要注意A、B的加速度相同，灵活选择研究对象，运用胡克定律、牛顿第二定律和机械能守恒结合进行分析和求解．

练习册系列答案
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