Question

2．图甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的匝数n=100，电阻r=10Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R=90Ω，与R并联的交流电压表为理想电表．在t=0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按图乙所示正弦规律变化．求：

（1）从1.57×10^-2s到4.71×10^-2s内通过电阻R上的电量q．
（2）电路中交流电压表的示数．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律公式、闭合电路欧姆定律公式和电流的定义公式列式后推导出电量表达式$q=n\frac{△φ}{{R}_{总}}$，然后求解通过电阻R上的电量q；
（2）交流发电机产生电动势的最大值E_m=nBSω，根据Φ-t图线得出周期T以及角速度．从而求出感应电动势的最大值；图中是以垂直于中性面开始计时的，所以感应电动势的瞬时表达式：e=E_mcos（ωt）；

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律可知，平均电动势：
$\overline{E}=n\frac{△Φ}{△t}=n\frac{2{Φ}_{m}}{△t}$
平均电流$\overline{I}=\frac{\bar E}{R+r}$
流过R的电量$q=\bar I△t$
联立上式得：$q=n\frac{△φ}{R+r}=n\frac{{2{φ_m}}}{R+r}=100×\frac{{2×2×{{10}^{-2}}}}{90+10}C=0.04C$
（2）线圈转动的角速度$ω=\frac{2π}{T}=100rad/s$
感应电动势最大值E_m=nBSω
由图可知${φ_m}=BS=2×{10^{-2}}wb$
回路中的电流的有效值$I=\frac{E_m}{{\sqrt{2}（R+r）}}$
电压表示数U=IR
联立上式得：
$I=\sqrt{2}A=1.4A$
$U=90\sqrt{2}V=127V$
答：（1）从1.57×10^-2s到4.71×10^-2s内通过电阻R上的电量q为0.04C．
（2）电路中交流电压表的示数为127V．

点评 解决本题的关键知道正弦式交流电峰值的表达式E_m=nBSω，以及知道峰值、有效值、平均值和瞬时值的区别．