Question

6．在光滑的水平桌面上有等大的质量分别为M=0.6kg，m=0.2kg的两个小球，中间夹着一个被压缩的具有E_p=10.8J弹性势能的轻弹簧（弹簧与两球不相连），原来处于静止状态．现突然释放弹簧，球m脱离弹簧后滑向与水平面相切、半径为R=0.425m的固定竖直放置的光滑半圆形轨道，如图所示．g取10m/s²．求：
（1）m脱离弹簧过程中弹簧对m的冲量大小；
（2）m运动到B点时速度大小；
（3）若半圆轨道半径可调，当半圆轨道的半径r为多大时，球m从B点飞出后落在水平桌面上的水平距离最大，且最大值是多大？

Answer 1

分析 （1）弹簧弹开小球的过程系统动量守恒、机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律求出两球脱离弹簧时的速度；再对m，运用动量定理求弹簧对m的冲量．
（2）m在半圆轨道上运动时，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求m运动到B点时速度大小．
（3）小球离开圆形轨道后做平抛运动，应用平抛运动规律得到水平距离与r的关系式，由数学知识分析答题．

解答 解：（1）释放弹簧过程中系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
  mv₁-Mv₂=0
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²=E_P
代入数据解得：v₁=9m/s，v₂=3m/s；
弹簧弹开小球的过程，由动量定理得：
弹簧对m的冲量大小为：I=△p=mv₁-0=0.2×9=1.8N•s；
（2）m从A到B过程中，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+mg•2R
解得：m运动到B点时速度大小 v₁′=8m/s；
（3）设圆轨道半径为r时，m由A到B的过程，由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+mg•2r
m从B点飞出后做平抛运动，则：
  2r=$\frac{1}{2}$gt²，x=v₁′t
联立得 x=$\frac{1}{10}$$\sqrt{（81-40r）×40r}$
当81-40r=40r时，即r=$\frac{81}{80}$m=1.0125m时，x为最大，最大值为 x_max=4r=4.05m
答：
（1）m脱离弹簧过程中弹簧对m的冲量大小是1.8N•s；
（2）m运动到B点时速度大小是8m/s．
（3）当r为1.0125m时，水平距离最大，且最大值是4.05m．

点评 本题分析清楚物体运动过程是基础，要把握每个过程的物理规律，应用动量守恒定律、机械能守恒定律、动量定理、平抛运动规律即可正确解题．