Question

8．如图1，在光滑水平桌面存在一沿x方向均匀增大的有界稳恒磁场，其方向与桌面垂直，变化率k=0.5T/m，x=0处磁场的感应强度B₀=0.5T，l_ab=0.4m，l_bc=1m，质量m=0.1kg，电阻为R=0.2Ω的长方形线框在外力作用下，从x=0处以某一初速度向右运动，运动过程中线框中的电流如图2所示，求：
（1）线框的初速度v₀；
（2）线框cd边进入磁场前瞬间的速度v₁；
（3）线框从x=0运动到x=2m过程中外力的平均功率．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求出线框的初速度；
（2）线框cd边进入磁场前瞬间，求出ab边所在位置的磁感应强度，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求解；
（3）根据感应电量求出运动时间，再结合能量守恒求出外力做的功，最后求出平均功率；

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，ab边切割磁感线的公式$E={B}_{0}^{\;}{l}_{ab}^{\;}{v}_{0}^{\;}$①
由欧姆定律得E=IR②
联立①②得${B}_{0}^{\;}{l}_{ab}^{\;}{v}_{0}^{\;}=IR$
解得：${v}_{0}^{\;}=\frac{IR}{{B}_{0}^{\;}{l}_{ab}^{\;}}=\frac{2×0.2}{0.5×0.4}=2m/s$
（2）根据题意$B={B}_{0}^{\;}+kx$
x=1时：B₁=0.5+0.5×1=1T
根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，有：${B}_{1}^{\;}{l}_{ab}^{\;}{v}_{1}^{\;}=IR$
代入数据：$1×0.4{v}_{1}^{\;}=2×0.2$
解得：${v}_{1}^{\;}=1m/s$
（3）x=2m时：B₂=0.5+0.5×2=1.5T
${B}_{2}^{\;}{l}_{ab}^{\;}v-{B}_{1}^{\;}{l}_{ab}^{\;}v=IR$
代入数据：1.5×0.4v-1×0.4v=2×0.2
解得：v=2m/s
线框从x=0运动到x=2m过程中磁通量的变化量为△Φ，平均感应电动势：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$
平均电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
电量$q=\overline{I}•△t$
联立得$q=\frac{△Φ}{R}$
因为B随x均匀增加，$B=\frac{{B}_{1}^{\;}+{B}_{2}^{\;}}{2}=\frac{1+1.5}{2}=1.25T$
△Φ=BS=1.25×0.4×1=0.5Wb
$q=\frac{△Φ}{R}=It$
即$\frac{0.5}{0.2}=2t$
解得t=1.25s
根据能量守恒定律，有
$W=△{E}_{k}^{\;}+{I}_{\;}^{2}Rt$=$0+{2}_{\;}^{2}×0.2×1.25$=1J
外力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{1}{1.25}W=0.8W$
答：（1）线框的初速度${v}_{0}^{\;}$为2m/s；
（2）线框cd边进入磁场前瞬间的速度${v}_{1}^{\;}$为1m/s；
（3）线框从x=0运动到x=2m过程中外力的平均功率为0.8W

点评 考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、能量守恒定律等的规律的应用与理解，运动过程中回路电流不变，是本题解题的突破口．