题目内容
3．
图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切，点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R．圆心O恰在水面，一质量为m的游客（视为质点）可从轨道AB上任意位置滑下，不计空气阻力．（1）若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD=2R，求游客滑到的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf．
（2）若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h．（提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向=m$\frac{{v}^{2}}{R}$）
分析 （1）游客从B点开始做平抛运动，将运动分解，即可求出游客到达B的速度，A到B的过程中由动能定理即可求出运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf．
（2）设OP与OB最近的夹角是θ，在P点离开轨道时，轨道对游客的支持力是0，由重力指向圆心的分力提供向心力，结合机械能守恒与向心力的表达式即可求解．
解答 解：（1）游客从B点开始做平抛运动，则：
2R=vBt
$R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
从A到B的过程中重力与摩擦力做功，由动能定理得：$mg（H-R）+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
得：Wf=mg（2R-H）；
（2）设OP与OB最近的夹角是θ，在P点重力指向圆心的分力提供向心力：
$mgcosθ=\frac{m{v}_{P}^{2}}{R}$
B到P的过程中只有重力做功，机械能守恒，得：$mg（R-Rc0sθ）=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-0$
又：$cosθ=\frac{h}{R}$
联立相关公式得：$h=\frac{2}{3}R$
答：（1）游客滑到的速度vB大小是$\sqrt{2gR}$，运动过程轨道摩擦力对其所做的功是mg（2R-H）．
（2）P点离水面的高度是$\frac{2}{3}R$
点评 该题中正确判断出游客在P点离开轨道时，轨道对游客的支持力是0，由重力指向圆心的分力提供向心力是解题的关键．
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