题目内容
如图所示，一光滑的半圆形轨道处于竖直平面内，并和一粗糙的斜面相接，其半径大小为R=0.4m，直径BC在竖直方向上，一小物体放在斜面上的A点，离水平面高度为h=3m，小物体与斜面之间的动摩擦因数为μ=0.5，斜面倾角θ=37°．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，现在把小物体从静止开始自由释放，求（1）小物体运动到斜面底端B点时速度的大小？
（2）证明小物体可以沿半圆形轨道运动到最高点C；
（3）小物体离开半圆轨道后第一次落到斜面上时，其速度v的大小．
分析：（1）对从A到B过程运用动能定理列式求解即可；
（2）先根据牛顿第二定律求解小球在C点的最小速度，然后对从B到C过程运用机械能守恒定律求解C点的实际速度进行比较；
（3）小物体离开C点后做平抛运动，先根据机械能守恒定律列式；再根据平抛运动的分位移公式列式；后结合几何关系得到两个分位移与2R的关系；最后联立求解．
（2）先根据牛顿第二定律求解小球在C点的最小速度，然后对从B到C过程运用机械能守恒定律求解C点的实际速度进行比较；
（3）小物体离开C点后做平抛运动，先根据机械能守恒定律列式；再根据平抛运动的分位移公式列式；后结合几何关系得到两个分位移与2R的关系；最后联立求解．
解答：解：（1）根据动能定理：mgh-fsAB=
m
①
又：f=μmgcosθ ②
SAB=
③
解得：
vB=
=4.5(m/s) ④
（2）小物体在C点，有：
N+mg=
⑤
当N=0时，Vc有最小值，可得：
vC≥
=2(m/s) ⑥
从B到C，由机械能守恒，可得：
m
=
m
+mg2R ⑦
解得：Vc=2（m/s） ⑧
（3）设落到斜面时水平位移为S，下落高度为h，由动能定理：
m
=
mv2+mgh ⑨
又根据平抛运动分位移公式，有：
S=vCt
h=
gt2
∴S=vC
⑩
结合几何关系，有：h+stanθ=2R （11）
联立可得：v=3.2m/s
答：（1）小物体运动到斜面底端B点时速度的大小为4.5m/s；
（2）证明如上；
（3）小物体离开半圆轨道后第一次落到斜面上时，其速度v的大小为3.2m/s．
| 1 |
| 2 |
| v | 2 B |
又：f=μmgcosθ ②
SAB=
| h |
| sin37° |
解得：
vB=
| 20 |
（2）小物体在C点，有：
N+mg=
m
| ||
| R |
当N=0时，Vc有最小值，可得：
vC≥
| gR |
从B到C，由机械能守恒，可得：
| 1 |
| 2 |
| v | 2 B |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 C |
解得：Vc=2（m/s） ⑧
（3）设落到斜面时水平位移为S，下落高度为h，由动能定理：
| 1 |
| 2 |
| v | 2 C |
| 1 |
| 2 |
又根据平抛运动分位移公式，有：
S=vCt
h=
| 1 |
| 2 |
∴S=vC
|
结合几何关系，有：h+stanθ=2R （11）
联立可得：v=3.2m/s
答：（1）小物体运动到斜面底端B点时速度的大小为4.5m/s；
（2）证明如上；
（3）小物体离开半圆轨道后第一次落到斜面上时，其速度v的大小为3.2m/s．
点评：本题关键明确小物体的运动规律，先圆周运动再平抛运动，要结合机械能守恒定律、牛顿第二定律、向心力公式和平抛运动的分位移公式列式求解．
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