Question

12．如图所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，另一端系有质量为m的小球．现将小球拉到A点（保持绳绷直且水平）由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点．地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知O点离地高度为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力影响，求：
（1）轻绳所受的最大拉力大小；
（2）调节绳子的长短，当地面上DC两点间的距离x取最大值时，此时绳的长度为多大．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可以求出小球到达B点的速度，在B位置，由牛顿第二定律可求轻绳所受的最大拉力大小．
（2）绳子断裂后小球做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出x，再结合数学知识求解．

解答 解：（1）从A到B，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mgl，
小球下摆到B点时，绳的拉力和重力提供向心力，
由牛顿第二定律的：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
解得：F=3mg
根据牛顿第三定律F′=F得轻绳所受的最大拉力为3mg；
（3）设此时绳子的长度为l₀，
从A到B的过程中，有$mg{l}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
绳子断后，小球做平抛运动，运动时间为t，
竖直方向：H-l₀=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向，DC间距离：x=v₀t，
代入数据解得：x=$2\sqrt{-（{l}_{0}-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{4}}$；
由数学知识可知，当${l}_{0}=\frac{H}{2}$时，DC间的距离最大．
答：（1）轻绳所受的最大拉力大小为3mg；
（2）调节绳子的长短，当地面上DC两点间的距离x取最大值时，此时绳的长度为$\frac{H}{2}$．

点评 掌握运用运动的合成与分解的方法处理平抛运动问题，能根据竖直面内圆周运动最高点和最低点小球所受合力提供圆周运动向心力讨论绳所受拉力大小问题，掌握规律是解决问题的关键．